Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 0; 0),B(0; -2; 0) và C(0; 0; -4). Mặt cầu ngoại
Câu hỏi:
A. 116π.
B. 29π.
C. 16π.
D. \[\frac{{29\pi }}{4}.\]
Trả lời:
Đáp án đúng là: B
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
⇒ IO = IA = IB = IC
⇒ IO2 = IA2 = IB2 = IC2
Khi đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {{(x - 3)}^2} + {y^2} + {z^2}}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {{(y + 2)}^2} + {z^2}}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {{(z + 4)}^2}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = {{(x - 3)}^2}}\\{{y^2} = {{(y + 2)}^2}}\\{{z^2} = {{(z + 4)}^2}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6x + 9 = 0}\\{4y + 4 = 0}\\{8z + 16 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{3}{2}}\\{y = - 1}\\{z = - 2}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2}; - 1;2} \right)\)
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiểp tứ diện OABC là:
\({\rm{R}} = {\rm{IO}} = \sqrt {\frac{9}{4} + 1 + 4} = \sqrt {\frac{{29}}{4}} \)
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:
\({\rm{S}} = 4\pi {{\rm{R}}^2} = 4\pi \frac{{29}}{4} = 29\pi \)
Đáp án cần chọn là: B
