Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x - 2y + 3 = 0 và I(1; -2). Phương

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 và I(1; –2). Phương trình đường thẳng d’ sao cho d là ảnh của đường thẳng d’ qua phép đối xứng tâm I là:

A. x – 2y – 12 = 0

B. –x + 2y – 13 = 0

C. –x + 2y + 8 = 0

D. –x + 2y + 13 = 0.

Đáp án đúng là: D

Vì d’ là ảnh của phép đối xứng đường thẳng d qua tâm I nên d’ // d

Suy ra (d’): x – 2y + m = 0 với m ≠ 3

Ta có: ${{\rm{d}}_{\left( {I;d} \right)}} = \frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 2} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 5 }}$

Mặt khác lại có ${{\rm{d}}_{\left( {I;d} \right)}} = {d_{\left( {I;d'} \right)}} \Leftrightarrow {d_{\left( {I;d'} \right)}} = \frac{8}{{\sqrt 5 }}$

Hay $\frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 2} \right) + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left| {5 + m} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 + m = 8\\5 + m = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 13\end{array} \right.$

Mà m ≠ 3 nên m = –13

Khi đó phương trình đường thẳng d’ là: –x + 2y + 13 = 0

Vậy ta chọn đáp án D.