Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C'): x^2 + y^2 - 10x - 2y + 23 = 0 và

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C'): x² + y² ‒ 10x ‒ 2y + 23 = 0 và đường thẳng d: x ‒ y + 2 = 0, phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục d là:

A. (C′): x² + y² + 4x − 12y + 26 = 0

B. (C′): x² + y2 + 2x − 14y + 47 = 0

C. (C′): x² + y² + 8x − 6y + 53 = 0

D. (C′): x² + y² + 2x − 6y + 12 = 0

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(5; 1) bán kính \(R = \sqrt {25 + 1 - 23} = \sqrt 3 \).

Ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d là đường tròn có tâm là ảnh của I qua phép đối xứng trục d và có bán kính bằng \(\sqrt 3 \).

Gọi I’ là ảnh của I qua phép đối xứng trục d. Gọi d’ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với d ta có phương trình d’ có dạng x + y + c = 0.

I ∈ d ⇒ 5 + 1 + c = 0 ⇒ c = ‒6 ⇒ (d’): x + y ‒ 6 = 0

Gọi H = d ∩ d’ ⇒ H(2; 4) là trung điểm của II’, ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} = 2{x_H} - {x_I}}\\{{y_{I'}} = 2{y_H} - {y_I}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} = 2.2 - 5 = - 1}\\{{y_{I'}} = 2.4 - 1 = 7}\end{array} \Rightarrow I'\left( { - 1;7} \right)} \right.} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là (x + 1)² + (y ‒ 7)² = 3

⇔ x² + y² + 2x ‒ 14y + 47 = 0

Đáp án cần chọn là: B.