Bác Bình tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty bảo hiểm

Bác Bình tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty bảo hiểm với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm bác Bình đóng vào công ty 20 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi \(6{\rm{\% }}/\) năm. Hỏi sau it nhất bao nhiêu năm bác Bình thu về tổng tất cả số tiền lớn hơn 400 triệu đồng?

A. 14 năm.

B. 12 năm.

C. 11 năm.

D. 13 năm.

Đáp án đúng là: D

Đặt m là số tiền đóng vào hàng năm, a là lãi suất hàng năm.

Sau 1 năm số tiền bác Bình có được là: P₁ = m + ma = m(a + 1).

Sau 2 năm số tiền bác Bình có được là: P₂ = m(a + 1) + m + [m(a + 1) + m]a = m (a + 1) + m(a + 1)²

Cứ như thế sau n năm số tiền bác Bình có được là:

\({P_n} = m\left( {a + 1} \right) + m{(a + 1)^2} + \ldots + m{(a + 1)^n} = \frac{{m\left( {a + 1} \right)\left[ {{{(a + 1)}^n} - 1} \right]}}{a}\)

\( = \frac{{20.1,06\left[ {{{(1,06)}^n} - 1} \right]}}{{0,06}}{\rm{.\;}}\)

Khi số tiền bác Bình thu về lớn hơn 400 triệu tức là: \(\frac{{20.1,06\left[ {{{(1,06)}^n} - 1} \right]}}{{0,06}} > 400\)

⇒ (1, 06)ⁿ ‒ 1 > 1,132 ⇒ (1, 06)ⁿ > 2,132 ⇒ n > 12,99 ⇒ n =13.