Cho (1 + cos B) / sin B = (2a + c) / căn bậc hai (4a^2 - c^2). Với a, b, c là độ dài cạnh

Cho $\frac{{1 + \cos B}}{{\sin B}} = \frac{{2a + c}}{{\sqrt {4{a^2} - {c^2}} }}$. Với a, b, c là độ dài cạnh của tam giác. Hỏi tam giác thỏa mãn đẳng thức là tam giác gì?

$\frac{{1 + \cos B}}{{\sin B}} = \frac{{2a + c}}{{\sqrt {4{a^2} - {c^2}} }}$

⇔ ${\left( {\frac{{1 + \cos B}}{{\sin B}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2a + c}}{{\sqrt {4{a^2} - {c^2}} }}} \right)^2}$

⇔ $\frac{{1 + 2\cos B + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}$

⇔ $\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} - 1 = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}$

⇔ $\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}} + 1$

⇔ $\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2} + 4{a^2} - {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}$

⇔$\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{8{a^2} + 4ac}}{{4{a^2} - {c^2}}}$

⇔$\frac{{2\left( {1 + \cos B} \right)}}{{\left( {1 + \cos B} \right)\left( {1 - \cos B} \right)}} = \frac{{4a\left( {2a + c} \right)}}{{\left( {2a + c} \right)\left( {2a - c} \right)}}$

⇔ $\frac{2}{{1 - \cos B}} = \frac{{4a}}{{2a - c}}$

⇔ $\frac{1}{{1 - \cos B}} = \frac{{2a}}{{2a - c}}$

⇔ 1 – cosB = 1 – $\frac{c}{{2a}}$

⇔ cosB = $\frac{c}{{2a}}$

⇔ $\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{c}{{2a}}$

⇔ a² + c² – b² = c²

⇔ a² = b²

⇔ a = b

Vậy tam giác cân.