Cho 3 đường thẳng: d1: y= mx – m + 1; d2: y = 2x + 3; d3: y = x + 1. a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng d1 luôn đi qua 1 điểm cố định. b) Tìm m để 3 đường thẳng trên đồng quy. Tí

Cho 3 đường thẳng: d₁: y= mx – m + 1; d₂: y = 2x + 3; d₃: y = x + 1.

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng d₁ luôn đi qua 1 điểm cố định.
b) Tìm m để 3 đường thẳng trên đồng quy. Tính tọa độ điểm giao nhau đó.

Lời giải

a) Gọi điểm cố định (d₁) luôn đi qua là M(x; y)

\( \Leftrightarrow y = mx - m + 1,\forall m\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right).m = y - 1,\forall m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d₂ và d₃ là:

\( \Leftrightarrow 2x + 3 = x + 1\)

\( \Leftrightarrow 2x - x = 1 - 3\)

\( \Leftrightarrow x = - 2\)

\( \Rightarrow y = x + 1 = - 2 + 1 = - 1\)

Do đó giao điểm của d₂ và d_3­ là điểm \(B\left( { - 2; - 1} \right)\)

Để 3 đường thẳng đồng quy thì d₁ đi qua điểm \(B\left( { - 2; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow - 1 = m.\left( { - 2} \right) - m + 1\)

\( \Leftrightarrow - 2m - m = - 2\)

\( \Leftrightarrow - 3m = - 2\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\)

Vậy \(m = \frac{2}{3}\).