Cho a > = 1; b .>= 9; c > = 16 thỏa mãn a.b.c = 1152. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Câu hỏi:
Cho a ≥ 1; b ≥ 9; c ≥ 16 thỏa mãn a.b.c = 1152. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \(bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \).
Trả lời:
P = \(bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \)
⇔ \(\frac{P}{{abc}} = \frac{P}{{1152}} = \frac{{\sqrt {a - 1} }}{a} + \frac{{\sqrt {b - 9} }}{b} + \frac{{\sqrt {c - 16} }}{c}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta có:
\(2\sqrt {a - 1} \le a - 1 + 1 = a\)⇔ \(\frac{{\sqrt {a - 1} }}{a} \le \frac{1}{2}\)
\(2\sqrt {9\left( {b - 9} \right)} \le 9 + b - 9 = b\)⇔ \(\frac{{\sqrt {b - 9} }}{b} \le \frac{1}{6}\)
\(2\sqrt {16\left( {c - 16} \right)} \le 16 + c - 16 = c\)⇔ \(\frac{{\sqrt {c - 16} }}{c} \le \frac{1}{8}\)
Suy ra: \(\frac{{\sqrt {a - 1} }}{a} + \frac{{\sqrt {b - 9} }}{b} + \frac{{\sqrt {c - 16} }}{c} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{{19}}{{24}}\) hay \(\frac{P}{{1152}} \le \frac{{19}}{{24}}\)
Suy ra: P ≤ 912
Dấu “=” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b - 9 = 9\\c - 16 = 16\end{array} \right.\) ⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 18\\c = 32\end{array} \right.\).
