X

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác có diện tích S. Chứng minh rằng a^2 + b^2


Câu hỏi:

Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác có diện tích S. Chứng minh rằng:

a2 + b2 + c2\(4\sqrt 3 S\).

Trả lời:

Áp dụng công thức Hê– rông ta có:

\(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \frac{1}{2}\sqrt {\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \)

Suy ra: S2 = p(p – a)(p – b)(p – c)

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta có:

\(\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right) \le {\left[ {\frac{{\left( {p - a} \right) + \left( {p - b} \right) + \left( {p - c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{{{p^3}}}{{27}}\)

Suy ra: \[{S^2} \le \frac{{{p^4}}}{{27}} \Rightarrow S \le \frac{{{p^2}}}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{12\sqrt 3 }}\]

Mà (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2)

= 3(a2 + b2 + c2)

Do đó: \[S \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{12\sqrt 3 }} \le \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{12\sqrt 3 }} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4\sqrt 3 }}\]

Vậy a2 + b2 + c2\(4\sqrt 3 S\)

 Dấu “=” khi a = b = c.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Tính tích phân\(\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + \sin x} dx} \).

Xem lời giải »


Câu 2:

Tìm số thực a để \(\sqrt {9 - 3a} \)có nghĩa.

Xem lời giải »


Câu 3:

Cho hình chữ nhật ABCD, tâm O, AB = 4, BC = 3. I là trung điểm BC. Tính \(\left| {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {DI} } \right|;\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right|\).

Xem lời giải »


Câu 4:

Cho tam giác đều cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|;\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\).

Xem lời giải »


Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là phân giác. Chứng minh: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{AD}} = \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}}\).

Xem lời giải »


Câu 6:

Cho tổng A = 15 + 25 + x với x ℕ. Tìm x để A chia hết cho 5.

Xem lời giải »


Câu 7:

1 trường học bán trú chuẩn bị gạo đủ cho 120 học sinh trong 40 ngày sau khi ăn được một nửa thì lại có thêm số bạn học sinh nữa (số phần ăn của các học sinh không thay đổi). Hỏi nhà trường cho thêm bao nhiêu học sinh?

Xem lời giải »


Câu 8:

Tìm m để phương trình vô nghiệm mcosx – 2 = cosx + 3m.

Xem lời giải »