Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác có diện tích S. Chứng minh rằng a^2 + b^2
Câu hỏi:
Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác có diện tích S. Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 ≥ \(4\sqrt 3 S\).
Trả lời:
Áp dụng công thức Hê– rông ta có:
\(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \frac{1}{2}\sqrt {\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \)
Suy ra: S2 = p(p – a)(p – b)(p – c)
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta có:
\(\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right) \le {\left[ {\frac{{\left( {p - a} \right) + \left( {p - b} \right) + \left( {p - c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{{{p^3}}}{{27}}\)
Suy ra: \[{S^2} \le \frac{{{p^4}}}{{27}} \Rightarrow S \le \frac{{{p^2}}}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{12\sqrt 3 }}\]
Mà (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
≤ a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2)
= 3(a2 + b2 + c2)
Do đó: \[S \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{12\sqrt 3 }} \le \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{12\sqrt 3 }} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4\sqrt 3 }}\]
Vậy a2 + b2 + c2 ≥ \(4\sqrt 3 S\)
Dấu “=” khi a = b = c.