Cho A = ( x + 1/x - 1 + x - 1/3 - x + 3/x^2 - 4x + 3) : 5/x^2 - 2x - 3 a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết 2x^2 – x – 1 = 0.

Cho $A = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{3 - x}} + \frac{3}{{{x^2} - 4x + 3}}} \right):\frac{5}{{{x^2} - 2x - 3}}$

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A biết 2x² – x – 1 = 0.

Lời giải

a) Với x ≠ ± 1, x ≠ 3 ta có:

$A = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{3 - x}} + \frac{3}{{{x^2} - 4x + 3}}} \right):\frac{5}{{{x^2} - 2x - 3}}$

$= \left[ {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x - 3}} + \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}} \right]:\frac{5}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}.\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{5}$

$= \frac{{{x^2} - 2x - 3 - {x^2} + 2x - 1 + 3}}{{x - 1}}.\frac{{x + 1}}{5}$

$= \frac{{ - 1}}{{x - 1}}.\frac{{x + 1}}{5}$

$= \frac{{ - x - 1}}{{5\left( {x - 1} \right)}}$.

Vậy với x ≠ ± 1, x ≠ 3 thì $A = \frac{{ - x - 1}}{{5\left( {x - 1} \right)}}$.

b) Ta có: 2x² – x – 1 = 0

Û 2x² – 2x + x – 1 = 0

Û 2x(x – 1) + (x – 1) = 0

Û (x – 1)(2x + 1) = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = - \frac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Thay $x = - \frac{1}{2}$ vào biểu thức A ta được:

$A = \frac{{\frac{1}{2} - 1}}{{5\left( { - \frac{1}{2} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{5.\frac{{ - 3}}{2}}} = \frac{{ - 1}}{{ - 15}} = \frac{1}{{15}}$.