Cho biểu thức: N = 2x - 10/x^2 - 7x + 10 - 2x/x^2 - 4 + 1/2 - x. a) Rút gọn N. b) Tìm giá trị nguyên của x để N nhận giá trị nguyên.

Cho biểu thức: $N = \frac{{2x - 10}}{{{x^2} - 7x + 10}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{2 - x}}$.

a) Rút gọn N.

b) Tìm giá trị nguyên của x để N nhận giá trị nguyên.

Lời giải

a) ĐKXĐ:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 7x + 10 \ne 0\\{x^2} - 4 \ne 0\\2 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2;\;x \ne 5\\x \ne 2;\;x \ne - 2\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 5\end{array} \right.$

Khi đó $N = \frac{{2x - 10}}{{{x^2} - 7x + 10}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{2 - x}}$

$= \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}$

$= \frac{2}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}$

$= \frac{2}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{2 - x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{x + 2}}$

b) Để N nhận giá trị nguyên thì $\frac{{ - 1}}{{x + 2}}$ nguyên

Þ −1 ⋮ (x + 2)

Þ x + 2 Î Ư(1) = {−1; 1}

Þ x Î {−3; −1} (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x Î {−3; −1} thì N nhận giá trị nguyên.