Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC. b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2cm và OA = 4cm.

Lời giải

a) Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC

Suy ra ΔABC cân tại A

Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC (trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)

b) Gọi I là giao điểm của AO và BC

Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây)

Xét ΔCBD có: CI = IB và CO = OD (bán kính)

Suy ra OI là đường trung bình

Do đó BD // AO.

c) Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAB:

AB² = AO² – BO² = 4² – 2² = 12

Suy ra \[AB = 2\sqrt 3 \] (cm)

Do đó \[AC = AB = 2\sqrt 3 \]

Xét tam giác OAC có \[\sin \widehat {OAC} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \(\widehat {OAC} = 30^\circ \)

Do đó \(\widehat {BAC} = 2\widehat {OAC} = 2.30^\circ = 60^\circ \)

Suy ra tam giác ABC đều nên \(AB = AC = BC = 2\sqrt 3 \) (cm).