Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = |z2| = |z1 − z2| = 1

Câu hỏi:

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂| = |z₁ − z₂| = 1. Tính giá trị của biểu thức $P = {(\frac{z_{1}}{z_{2}})}^{2} + {(\frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2}$ .

Trả lời:

Ta có: $|z_{1} - z_{2}| = 1 \Rightarrow (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1} - z_{2}}) = 1$

$\Leftrightarrow (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}) = 1$

$\Leftrightarrow z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{2} . \bar{z_{2}} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

$\Leftrightarrow {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

$\Leftrightarrow 1^{2} + 1^{2} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

$\Leftrightarrow z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

Khi đó $P = {(\frac{z_{1}}{z_{2}})}^{2} + {(\frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2} = {(\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2} - 2 \frac{z_{1}}{z_{2}} . \frac{z_{2}}{z_{1}}$

$= {(\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2} - 2 = {(\frac{z_{1} . \bar{z_{2}}}{{|z_{2}|}^{2}} + \frac{\bar{z_{1}} . z_{2}}{{|z_{1}|}^{2}})}^{2} - 2$

$= {(z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2})}^{2} - 2 = 1^{2} - 2 = - 1$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Đa thức P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho đoạn thẳng AB. Vị trí của điểm M thỏa mãn: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$ được xác định bởi:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hàm số f (x) = x²ln x. Tính f ¢(e).

Xem lời giải »

Câu 7:

F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ln x và F (1) = 3. Khi đó giá trị của F (e) là:

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho hàm số $y = \ln \frac{7}{x + 7}$ . Hệ thức nào sau đây là hệ thức đúng?

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = |z2| = |z1 − z2| = 1

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: