Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x^2 + y^2 = 2. Gọi M, m

Câu hỏi:

Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x² + y² = 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x³ + y³) − 3xy. Tính giá trị của M + m.

Trả lời:

P = 2(x³ + y³) − 3xy = 2(x + y)(x² − xy + y²) − 3xy

= 2(x + y)(2 − xy) − 3xy

Đặt t = x + y Þ t² = x² + y² + 2xy = 2 + 2xy

$\Leftrightarrow x y = \frac{t^{2} - 2}{2}$

Vì (x + y)² ≥ 4xy Û t² ≥ 2(t² − 2)

Û t² − 4 £ 0 Û −2 £ t £ 2

Khi đó ta có:

$P = 2 t (2 - \frac{t^{2} - 2}{2}) - 3 . \frac{t^{2} - 2}{2}, (t \in [- 2; 2])$

$= 4 t - t^{3} + 2 t - \frac{3}{2} t^{2} + 3$

$= - t^{3} - \frac{3}{2} t^{2} + 6 t + 3 = f (t)$

Xét hàm số $f (t) = - t^{3} - \frac{3}{2} t^{2} + 6 t + 3$ trên [−2; 2] ta có:

$f^{'} (t) = - 3 t^{2} - 3 t + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \in [- 2; 2] \\ t = - 2 \in [- 2; 2] \end{array}$

Ta tính được: $f (- 2) = - 7; f (1) = \frac{13}{2}; f (2) = 1$

Suy ra $\max_{[- 2; 2]} f (t) = f (1) = \frac{13}{2} = \max P$ và $\min_{[- 2; 2]} f (t) = f (- 2) = - 7 = \min P$

Vậy $M + m = \frac{13}{2} + (- 7) = \frac{- 1}{2}$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Đa thức P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho đoạn thẳng AB. Vị trí của điểm M thỏa mãn: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$ được xác định bởi:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho x, y là những số thực thoả mãn x² − xy + y² = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{x^{4} + y^{4} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ .