Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn tích phân từ 0 đến pi/4 tanx.f(cos^2x)dx=2

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x . f (\cos^{2} x) d x = 2$ và $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{x . \ln x} d x = 2$ . Tính $\int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{x} d x$ .

Trả lời:

Ta có: $A = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x . f (\cos^{2} x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} . f (\cos^{2} x) d x$

$= \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x . \cos x}{\cos^{2} x} . f (\cos^{2} x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin 2 x}{\cos^{2} x} . f (\cos^{2} x) d x$

Đặt cos² x = t Þ 2sin x.cos x dx = −dt

Þ sin 2x dx = −dt

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases}$

Khi đó $A = - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{f (t)}{t} d t = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{t} d t = 2$

Lại có: $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{x . \ln x} d x = \frac{1}{2} \int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{\ln^{2} x} . \frac{2 \ln x}{x} d x$

Đặt ln² x = t

$\Rightarrow \frac{2 \ln x}{x} d x = d t$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = e \Rightarrow t = 1 \\ x = e^{2} \Rightarrow t = 4 \end{cases}$

Khi đó $B = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{f (t)}{t} d t = 2$

Tính $I = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{x} d x = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{2 x} . 2 d x = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{2 x} d (2 x)$

$= \int_{\frac{1}{2}}^{4} \frac{f (t)}{t} d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{t} d t + \int_{1}^{4} \frac{f (t)}{t} d t$

= 4 + 4 = 8.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Đa thức P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho đoạn thẳng AB. Vị trí của điểm M thỏa mãn: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$ được xác định bởi:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Xem lời giải »

Câu 5:

Tính giá trị của biểu thức:

$P = C_{2017}^{0} C_{2018}^{1} + C_{2017}^{1} C_{2018}^{2} + ... + C_{2017}^{2016} C_{2018}^{2017} + C_{2017}^{2017} C_{2018}^{2018}$ .

Xem lời giải »

Câu 6:

Tính tổng: $S = 1 . C_{2018}^{1} + 2 . C_{2018}^{2} + ... + 2018 . C_{2018}^{2018}$ .

Xem lời giải »

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(2; 5); B(1; 7); C(1; 5); D(0; 9). Ba điểm nào sau đây thẳng hàng.

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho 4 điểm A(1; −2); B(0; 3); C(−3; 4); D(−1; 8). Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng hàng?

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn tích phân từ 0 đến pi/4 tanx.f(cos^2x)dx=2

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: