Cho hàm số y = (son x + 1) / (cins^2 x + sin x + 1). M là giá trị lớn nhất, m là giá trị

Cho hàm số $y = \frac{{\sin x + 1}}{{{{\sin }^2}x + \sin x + 1}}$. M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của y. Tính M.m?

Đặt t = sinx (–1 ≤ t ≤ 1)

Ta có bài toán trở thành: tìm GTLN, GTNN của hàm số g(t) = $\frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}$ trên đoạn [–1;1]

Ta có đạo hàm: g’(t) = $\frac{{ - {t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}}$

g’(t) = $\frac{{ - {t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow - {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]\\t = - 2 \notin \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right.$

Ta có: g(–1) = 0; g(0) = 1; g(1) = $\frac{2}{3}$

$\mathop {\max g\left( t \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = g\left( 0 \right) = 1;\mathop {\min g\left( t \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = g\left( { - 1} \right) = 0$

Hay M = 1; m = 0

Vậy M.m = 1.0 = 0.