Cho hàm số y = (x + 2) / (2x + 1). Xác định m để đường thẳng y = mx + m
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}\). Xác định m để đường thẳng y = mx + m − 1 luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc về hai nhánh của đồ thị.
Trả lời:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\) .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng đã cho là:
\(\frac{{x + 2}}{{2x + 1}} = mx + m - 1\)
Þ x + 2 = 2mx2 + (3m − 2)x + m − 1
Û 2mx2 + (3m − 3)x + m − 3 = 0.
Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 3} \right)^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne - 3\end{array} \right.\;\;\left( {**} \right)\)
Giả sử 2 giao điểm là: A(x1; mx1 + m − 1) và B(x2; mx2 + m − 1)
Theo đinh lí Vi-et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{3 - 3m}}{{2m}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m - 3}}{{2m}}\end{array} \right.\)
Đồ thị có \(x = - \frac{1}{2}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.
Để 2 điểm thuộc về 2 nhánh của đồ thị thì:
\(\left( {m{x_1} + m - 1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {m{x_2} + m - 1 - \frac{1}{2}} \right) < 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2}{x_1}{x_2} + m\left( {m - \frac{3}{2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} < 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2}\,.\,\frac{{m - 3}}{{2m}} + m\,.\,\frac{{2m - 3}}{3}\,.\,\frac{{3 - 3m}}{{2m}} + \frac{{{{\left( {2m - 3} \right)}^2}}}{4} < 0\)
Û −6m + 2m2 + 15m − 6m2 − 9 + 4m2 − 12m + 9 < 0
Û 9m > 0 Û m > 0.
Kết hợp với (**) suy ra m > 0.
