Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt đáy một

Câu hỏi:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD ?

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$ .

B. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$ .

C. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$ .

D. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$ .

Trả lời:

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt đáy một (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD)

⇒ Góc tạo bởi cạnh bên SC và mặt đáy ABCD là $\widehat {SCO}$ , bằng 60°

$ABCD$ là hình vuông cạnh $a \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{a}{{\sqrt 2 }}}\\{{S_{ABCD}} = {a^2}}\end{array}} \right.$

∆SOC vuông tại O $\Rightarrow SO = OC \cdot {\rm{tan}}\widehat {SCO} = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \cdot {\rm{tan}}60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}$

Thể tích khối chóp S.ABCD là: $V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$ .