Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng (SAC) góc 30°. Tính diện tích tam giác ABC.

A. ${S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$

B. ${S_{ABC}} = {a^2}\sqrt 2$

C. ${S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}$

D. ${S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}$ .

Trả lời:

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AB

Vì tam giác SAB đều nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\{SI \bot AB}\end{array}} \right.$

Mà $(SAB) \bot (ABC) \Rightarrow SI \bot (ABC){\rm{; }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SI \bot AC}\\{AB \bot AC}\end{array} \Rightarrow AC \bot (SAB)} \right.$

Kẻ BK vuông góc với SA tại K

Vì $AC \bot (SAB)$ nên $AC \bot BK \Rightarrow BK \bot (SAC){\rm{ v\`a }}BK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Do đó, góc giữa BC và (SAC) là $\widehat {BCK}$ suy ra $\widehat {BCK} = 30^\circ$

Khi đó: $BC = \frac{{BK}}{{\sin \widehat {BCK}}} = a\sqrt 3$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pytago có $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2$

Suy ra diện tích tam giác ABC là ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$

Vậy ta chọn đáp án A.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; –4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:

Xem lời giải »

Câu 2:

Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, đồng thời chia hết cho 9.

Xem lời giải »

Câu 3:

Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x + 5 > 0?

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [-pi; 2pi] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là: A. 4 B. 6 C. 3 (ảnh 1)

Số nghiệm thuộc đoạn [–π; 2π] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là:

Xem lời giải »

Câu 5:

Biết $\int\limits_1^2 {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x\ln {\rm{x}}}}} d{\rm{x}} = \ln \left( {\ln a + b} \right)$ với a, b là các số nguyên dương. Tính P = a² + ab + b².

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hai số thực a và b với 1 < a < b. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho các số phức z thỏa mãn |z| = 4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (3 + 4i)z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, BD = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30°. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: