Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC
Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại B. Biết SA = 2a, AB = a, BC=a√3. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Trả lời:
Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC và SC.
Khi đó OI là đường trung bình của tam giác SAC nên OI // SA.
Mà SA⊥(ABC) nên OI ⊥ (ABC).
Tam giác ABC vuông tại B nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà OI ⊥ (ABC) nên OI chính là trục của (ABC) suy ra IA = IB = IC (1).
Lại có SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AC.
Do đó tam giác SAC vuông tại A nên I chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC, suy ra IS = IA = IC (2).
Từ (1) và (2) ta có IA = IB = IC = IS, hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC và bán kính mặt cầu là R=IS=12SC.
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ABC, ta có:
AC=√AB2+BC2=2a.
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông SAC, ta có:
SC=√SA2+AC2=2a√2
Vậy R=12SC=a√2.
