Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = a, AD
Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = a, AD = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a√2. Gọi M là trung điểm AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC bằng
A. a2;
B. a;
C. a√22;
D. a√2.
Trả lời:
Đáp án đúng là: A
Xét tứ giác BMDC có: MD // BC và MD = BC = a
Do đó tứ giác BMDC là hình bình hành
Suy ra BM // CD nên BM // (SCD)
Khi đó d(BM, SC) = d(BM, (SCD)) = d(M, (SCD))
Mà d(M, (SCD) = 12d(A,(SCD))
Nên d(BM,SC)=12d(A,(SCD))
• Tứ giác AMCB là hình vuông nên cạnh AB = a nên AC=a√2, CM = a
Do đó tam giác ACD có CM=12AD nên tam giác ACD vuông tại C hay AC ⊥ CD.
• Kẻ AH ⊥ SC tại H (1)
Ta có: {CD⊥ACCD⊥SA⇒CD⊥(SAC)⇒(SCD)⊥(SAC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ (SCD) nên AH = d(A, (SCD))
Do SA=AC=a√2 và SA⊥AC nên tam giác SAC vuông cân tại A.
⇒ H là trung điểm của SC
⇒AH=12SC=12.√2.SA=a
Vậy d(BM,SC)=a2.
