Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN.

Gọi H là trung điểm của cạnh AB nên SH ^ AB

Mặt khác (SAB) ^ (ABCD) Þ SH ^ (ABCD)

Gọi F là trung điểm của MN, ΔCMN vuông tại C nên F là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCMN

Qua F kẻ d₁ // SH Þ d₁ ^ (ABCD)

Ta có:

+)  $HN=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow SN=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

+)  $MN=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

+)  $SM=\sqrt{S{H}^2+H{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+a^2}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$

Suy ra SN² + MN² = SM²

Do đó tam giác SMN vuông tại N

Gọi E là trun điểm của SM, qua E kẻ d₂ ^ (SMN) sao cho d₂ Ç d₁ = I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN.

Dễ thấy ΔHMN vuông cân tại N 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MN\perp HN\\ MN\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow MN\perp \left(SHN\right)\Rightarrow MN\perp SN$

$\Rightarrow \left(\widehat{\left(SMN\right);\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SN;HN}\right)=\widehat{SNH}$

Ta có:  $\left\{\begin{array}{l}{d}_1\perp \left(ABCD\right)\\ d_2\perp \left(SMN\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(\widehat{d_1;d_2}\right)=\left(\widehat{\left(SMN\right);\left(ABCD\right)}\right)=\widehat{SNH}=\widehat{EIF}<90°$

$\Rightarrow \tan \widehat{EIF}=\tan \widehat{SNH}=\frac{SH}{SN}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Có EI ^ (SMN) Þ EI ^ EF

Do đó ∆EIF vuông tại E

$\Rightarrow IE=\frac{EF}{\tan \widehat{EIF}}=\frac{SN}{2\tan \widehat{EIF}}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{2.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{30}}{12}$.

Xét tam giác vuông SIE có:

 $IS=\sqrt{I{E}^2+S{E}^2}=\sqrt{I{E}^2+\frac{S{M}^2}{4}}=\frac{a\sqrt{93}}{12}=R$.

Vậy bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN là:  $\frac{a\sqrt{93}}{12}$.