Cho phương trinhg: x^2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

Cho phương trinhg: x² + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn 2.

A. m < 2

B. m > –3

C. $\frac{1}{3} < m < 2$

D. $m > \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x² + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0 có

$\begin{array}{l}\Delta ' = {(m - 1)^2} + m + 1 = {m^2} - 2m + 1 + m + 1 = {m^2} - m + 2\\ = {m^2} - 2m \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}\end{array}$

Suy ra ∆’ > 0 với mọi m

Do đó phương trình luôn có hai nhiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi giá trị của m

Từ giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} - 2 < 0;{x_2} - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ { $$\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) > 0}\\{\frac{S}{2} < 2}\end{array}$$ } \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ { $$\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}{x_2} - 2{x_1} - 2{x_2} + 4 > 0}\\{ - m + 1 < 2}\end{array}$$ } \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0{\rm{              }}(*)}\\{m > - 1}\end{array}} \right.\end{array}\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = - \left( {m + 1} \right)\end{array} \right.$

Thay vào (*) ta được

$\begin{array}{l} - (m + 1) - 2.( - 2)(m - 1) + 4 > 0\\ \Leftrightarrow - m - 1 + 4m - 4 + 4 > 0\\ \Leftrightarrow 3m - 1 > 0\\ \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}{\rm{ }}\end{array}$

Kết hợp điều kiện m > –1 suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m > \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$

Vậy đáp án cần chọn là: D.