Cho tam giác ABC, các cạnh BC, AC, AB có độ dài lần lượt là a, b, c. Chứng minh
Câu hỏi:
Trả lời:
\(\frac{{\cos A + \cos B}}{{a + b}} = \frac{{\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)}}{{2abc}}\)
⇔ cosA + cosB = \(\frac{{\left( {a + b} \right)\left[ {\left( {c + \left( {b - a} \right)} \right)\left( {c - \left( {b - a} \right)} \right)} \right]}}{{2abc}}\)
⇔ \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{\left( {a + b} \right)\left[ {{c^2} - {{\left( {b - a} \right)}^2}} \right]}}{{2abc}}\)
⇔ ab2 + ac2 – a3 + c2b + a2b – b3 = (a + b)(c2 + 2ab – b2 – a2)
⇔ ab2 + ac2 – a3 + c2b + a2b – b3 = ac2 + 2a2b – b2a – a3 + 2ab2 – b3 – ba2
⇔ 0 = a2b – b2a + ab2 – ba2
⇔ 0 = 0 (đúng)
Vậy \(\frac{{\cos A + \cos B}}{{a + b}} = \frac{{\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)}}{{2abc}}\).
