Cho tam giác ABC vuông tại B (AB < AC) có AM là tia phân giác (M ∈ BC), trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AB = AN. a) Chứng minh ∆ABM = ∆ANM. b) Chứng minh góc BAC = góc CMN

Cho tam giác ABC vuông tại B (AB < AC) có AM là tia phân giác (M ∈ BC), trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AB = AN.

a) Chứng minh ∆ABM = ∆ANM.

b) Chứng minh $\widehat {BAC} = \widehat {CMN}$.

Lời giải

a) Vì AM là tia phân giác của $\widehat {BAC}$

Nên $\widehat {BAM} = \widehat {CAM}$

Xét ΔABM và ΔANM có:

AB = AN (giả thiết)

$\widehat {BAM} = \widehat {CAM}$

AM là cạnh chung chung

Suy ra ΔABM = ΔANM (c.g.c)

b) Vì ΔABM = ΔANM (chứng minh câu a)

Nên $\widehat {ABM} = \widehat {ANM}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {ABM} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {ANM} = 90^\circ$

Hay tam giác CMN vuông tại N

Suy ra $\widehat {NCM} + \widehat {NMC} = 90^\circ$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà $\widehat {NCM} + \widehat {BAC} = 90^\circ$ (vì tam giác ABC vuông tại C)

Do đó $\widehat {BAC} = \widehat {CMN}$

Vậy $\widehat {BAC} = \widehat {CMN}$.