Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm của BD và CE; AH cắt BC tại I. a) Chứng minh AI vuông góc với BC và EC là
Câu hỏi:
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm của BD và CE; AH cắt BC tại I. a) Chứng minh AI vuông góc với BC và EC là phân giác của góc IED.
Trả lời:
a)
Vì E, D thuộc đường tròn (O) đường kính BC nên tam giác BCE, BDC nội tiếp đường tròn
Suy ra tam giác BCE vuông tại E, tam giác BCD vuông tại D
Hay BE ⊥ EC; BD ⊥ DC
Xét tam giác BCA có BE, CE là hai đường cao cắt nhau tại H
Suy ra H là trực tâm
Do đó AH ⊥ BC hay AI ⊥ BC
Xét tứ giác BEHI có , mà hai góc này là hai góc đối của tứ giác
Suy ra tứ giác BEHI nội tiếp
Do đó (hai góc nội tiếp chắn cung HI)
Ta có: (hai góc nội tiếp chắn cung DC trong (O)).
Mà (chứng minh trên)
Suy ra
Do đó EC là phân giác của .
