Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD, BC sao cho AM/AD=CN/CB

Câu hỏi:

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD, BC sao cho $\frac{A M}{A D} = \frac{C N}{C B}$ . Lấy I là trung điểm cạnh MN. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh I luôn chuyển động trên đoạn EF.

Trả lời:

Đặt $\frac{A M}{A D} = \frac{C N}{C B} = k \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{A M} = k . \vec{A D} \\ \vec{C N} = k . \vec{C B} \end{cases}$ với k là hằng số

Ta có:

$\vec{E I} = \vec{E C} + \vec{C N} + \vec{N I} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \vec{C N} + \frac{1}{2} \vec{N M}$

$= \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{D C}) + \vec{C N} + \frac{1}{2} (\vec{N C} + \vec{C D} + \vec{D M})$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{D C} + \vec{C N} + \frac{1}{2} \vec{N C} + \frac{1}{2} \vec{C D} + \frac{1}{2} \vec{D M}$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{C N} + \frac{1}{2} \vec{D M}$

$= \frac{1}{2} \vec{A M} + \frac{1}{2} \vec{C N} = \frac{k}{2} (\vec{A D} + \vec{C B})$ (1)

$\vec{E F} = \vec{E C} + \vec{C B} + \vec{B F} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \vec{C B} + \frac{1}{2} \vec{B D}$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{D C} + \vec{C B} + \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{C D}$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{C B} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{C B})$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\vec{E F} = k . \vec{E I}$ .

Suy ra E; F; I thẳng hàng hay I luôn thuộc đường thẳng EF cố định.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Tính giá trị lớn nhất của hàm số y = x(2 − ln x) trên đoạn [2; 3].

Xem lời giải »

Câu 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x²ln x trên đoạn [1; 2].

Xem lời giải »

Câu 3:

Hàm số y = cos 2x đồng biến trên khoảng nào?

Xem lời giải »

Câu 4:

Hàm số y = cos 2x nghịch biến trên khoảng nào sau đây (k Î ℤ).

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho $\frac{M A}{A D} = \frac{N C}{C B} = \frac{1}{3}$ . Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

a) Chứng minh: $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C})$

b) Xác định điểm O sao cho $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biết

A B = C D = 2 a; M N = a \sqrt{3}

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy bằng 3a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD, BC sao cho AM/AD=CN/CB

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: