Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: 2sin^2 2x + 3sin2x
Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: 2sin2 2x + 3sin2x + m – 1 = 0 có đúng 2 nghiệm thuộc \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\).
Trả lời:
Xét f(x, m) = : 2sin2 2x + 3sin2x + m – 1 = 0
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai với ẩn là: sin2x, ta có
\(\Delta = {3^2} - 2 \cdot (m - 1) = 9 - 2m + 2 = 11 - 2m\)
Để phương trình có hai nghiệm
\( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 11 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{11}}{2}\)
Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có:
\(S = {x_1} + {x_2} = \frac{3}{2}\)
Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_f} = 2}\\{f(0) = m - 1}\\{f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = m + 4}\end{array}} \right.\)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm x thuộc \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right] \Leftrightarrow 0 \le {x_1} < {x_2} \le \frac{\pi }{4}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_f}.f(0) \ge 0}\\{{a_f}.f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) \ge 0}\\{0 \le \frac{S}{2} \le \frac{\pi }{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( {m - 1} \right) \ge 0}\\{2\left( {m + 4} \right) \ge 0}\\{0 \le \frac{{\frac{3}{2}}}{2} \le \frac{\pi }{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge 0\\m + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \ge - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 1\)
Mà \(m < \frac{{11}}{2}\) suy ra \(m \in \left[ {1;\left. {\frac{{11}}{2}} \right)} \right.\)
Mặt khác m ∈ Z nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}
Vậy có 5 giá trị nguyên của m là 1; 2; 3; 4; 5.
