Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: 2sin^2 2x + 3sin2x
Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: 2sin2 2x + 3sin2x + m – 1 = 0 có đúng 2 nghiệm thuộc [0;π4].
Trả lời:
Xét f(x, m) = : 2sin2 2x + 3sin2x + m – 1 = 0
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai với ẩn là: sin2x, ta có
Δ=32−2⋅(m−1)=9−2m+2=11−2m
Để phương trình có hai nghiệm
⇔Δ>0⇔11−2m>0⇔m<112
Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có:
S=x1+x2=32
Ta có:{af=2f(0)=m−1f(π4)=m+4
Để phương trình đã cho có hai nghiệm x thuộc [0;π4]⇔0≤x1<x2≤π4
\( \Leftrightarrow \left\{ {af.f(0)≥0af.f(π4)≥00≤S2≤π4} \right. \Leftrightarrow \left\{ {2(m−1)≥02(m+4)≥00≤322≤π4} \right. \Leftrightarrow \left\{ m−1≥0m+4≥0 \right. \Leftrightarrow \left\{ m≥1m≥−4 \right. \Leftrightarrow m \ge 1\)
Mà m<112 suy ra m∈[1;112)
Mặt khác m ∈ Z nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}
Vậy có 5 giá trị nguyên của m là 1; 2; 3; 4; 5.