Giải phương trình căn bậc hai (3x - 2) - căn bậc hai (x + 1) = 2x^2 + x - 6

Giải phương trình: \(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} + x - 6\) ta được nghiệm duy nhất x₀. Chọn câu đúng.

A. x₀ < 1;

B. x₀ > 2;

C. 0 < x₀ < 1;

D. 1 < x₀ < 2.

ĐK: \(x \ge \frac{3}{2}\).

\(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} + x - 6\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = \left( {x + 2} \right)\left[ {\left( {3x - 2} \right) - \left( {x + 1} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = \left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 0\\\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} } \right) = 1\end{array} \right.\) (*)

Mà với \(x \ge \frac{3}{2}\) thì

\(\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} } \right) \ge \left( {\frac{3}{2} + 2} \right)\left( {\sqrt {3\,.\,\frac{3}{2} - 2} + \sqrt {\frac{3}{2} + 1} } \right) = \frac{{7\sqrt {10} }}{4} > 1\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} = \sqrt {x + 1} \)

Û 3x − 2 = x + 1

Û 2x = 3

\( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Từ đó ta có: 1 < x₀ < 2.

Chọn đáp án D.