Giải phương trình sau: cos^2 x - sin 2x = 0
Câu hỏi:
Trả lời:
cos2 x – sin 2x = 0
\[ \Leftrightarrow \frac{{\cos \,2x + 1}}{2} - \sin \,2x = 0\]
Û cos 2x – 2sin 2x = –1
\[ \Leftrightarrow \sqrt 5 \left[ {\frac{{\sqrt 5 }}{5}\sin \,x - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\cos \,x} \right] = - 1\]
\[ \Leftrightarrow \sin \,(x - \alpha ) = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\], với a là cung thỏa mãn \[\sin \,\alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\]và \[\cos \,\alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) + k2\pi \\x = \alpha + \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \alpha + \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) + k2\pi \] hoặc \[x = \alpha + \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) + k2\pi \] \[(k \in \mathbb{Z})\].
