Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

Câu hỏi:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $m^{2} (x^{4} - 1) + m (x^{2} - 1) - 6 (x - 1) \geq 0$ đúng với mọi $x \in R$ . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:

A. $- \frac{3}{2}$

B. 1

C. $- \frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Trả lời:

Đáp án C

$m^{2} (x^{4} - 1) + m (x^{2} - 1) - 6 (x - 1) \geq 0, \forall x \Leftrightarrow m^{2} (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) + m (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) \geq 0, \forall x \Leftrightarrow (x - 1) [m^{2} x^{3} + m^{2} x^{2} + (m^{2} + m) x + m^{2} + m - 6] \geq 0, \forall x$

Để bất phương trình luôn đúng với mọi x thì suy ra:

+TH1: phương trình $m^{2} x^{3} + m^{2} x^{2} + (m^{2} + m) x + m^{2} + m - 6 = 0$ có nghiệm đúng với mọi x

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m^{2} = 0 \\ m^{2} = 0 \\ m^{2} + m = 0 \\ m^{2} + m - 6 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m = 0 \\ [\begin{matrix} m = 0 \\ m = - 1 (v n) \end{matrix} \\ [\begin{matrix} m = 2 \\ m = - 3 \end{matrix} \end{matrix}$

+ TH2: Đa thức $m^{2} x^{3} + m^{2} x^{2} + (m^{2} + m) x + m^{2} + m - 6$ có nghiệm x = 1

Khi đó:

$m^{2} + m^{2} + m^{2} + m + m^{2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} + 2 m - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 1 \\ m = - \frac{3}{2} \end{matrix}$

Thử lại:

+ Với m = 1 thì $(x - 1) [x^{3} + x^{2} + 2 x - 4] \geq 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 4) \geq 0$ (luôn đúng)

+ với $m = - \frac{3}{2}$ thì

$(x - 1) (\frac{9}{4} x^{3} + \frac{9}{4} x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{21}{4}) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} + x - 7) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} (3 x^{2} + 6 x + 7) \geq 0$ (luôn đúng)

Do đó: $m = 1; m = - \frac{3}{2}$ là các giá trị cần tìm

Tổng $S = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 2 m - 4$ đi qua điểm $N (- 2; 0)$

Xem lời giải »

Câu 2:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng $y = m (x - 4)$ cắt đồ thị của hàm số $y = (x^{2} - 1) (x^{2} - 9)$ tại bốn điểm phân biệt?

Xem lời giải »

Câu 3:

Hàm số $y = {(x + m)}^{3} + {(x + n)}^{3} - x^{3}$ (tham số m, n) đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4 (m^{2} + n^{2}) - m - n$ bằng:

Xem lời giải »

Câu 4:

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f(x)

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |f (x - 1) + m|$ có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hàm số $f (x) = m x^{4} + n x^{3} + p x^{2} + q x + r (m, n, p, q, r \in R)$ . Hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình $f (x) = r$ có số phần tử là: