Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu
Câu hỏi:
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 000 đồng. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm lần lượt là bao nhiêu để có mức lời cao nhất?
Trả lời:
Gọi x (x ≥ 0 ) là số kg loại I cần sản xuất, y (y ≥ 0 ) là số kg loại II cần sản xuất.
Þ Số nguyên liệu cần dùng là: 2x + 4y
Thời gian làm việc là: 30x + 15y
Mức lời thu được là: 40.000x + 30.000y
Theo giả thiết bài toán xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc
Þ 2x + 4y ≤ 200 hay x + 2y – 100 ≤ 0
30x+ 15y ≤ 1200 hay 2x + y – 80 ≤ 0
Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \le 100\\2x + y \le 80\end{array} \right.\] (*)
Cần tìm giá trị x, y sao cho L(x; y) = 40.000x + 30.000y đạt giá trị lớn nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng (d) : x + 2y – 100 = 0 và (d’) : 2x + y – 80 = 0
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng (tứ giác) không tô màu trên hình vẽ
Giá trị lớn nhất của L(x; y) đạt tại một trong các điểm là: (0; 0); (40; 0); (0; 50); (20;40)
Ta có:
L(0; 0) = 0;
L(40; 0) = 1 600 000;
L(0; 50) = 1 500 000;
L(20; 40) = 2 000 000.
Þ Giá trị lớn nhất của L(x; y) là 2 000 000 khi (x; y) = (20; 40).
Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất.
