Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là

Câu hỏi:

Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^4-3x^2+5}}{x-2}$ là:

A. $y=x+2$

B. $y=x-2$ hoặc $y=x+2$

C. $y=-x-2$ hoặc $y=x+2$

D. $y=-x-2$

Trả lời:

Ta có:  $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^4-3x^2+5}}{x-2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1-\frac{3}{x^2}+\frac{5}{x^4}}}{1-\frac{2}{x}}=1=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}\Rightarrow a=1$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{\sqrt{x^4-3x^2+5}}{x-2}-x\right]$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^4-3x^2+5}-\left(x^2-2x\right)}{x-2}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x^3-7x^2+5}{\left(x-2\right)\left[\sqrt{x^4-3x^2+5}+\left(x^2-2x\right)\right]}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4-\frac{7}{x}+\frac{5}{x^3}}{\left(1-\frac{2}{x}\right)\left(\sqrt{1-\frac{3}{x^2}+\frac{5}{x^4}}+1-\frac{2}{x}\right)}=\frac{4}{2}=2$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=2\Rightarrow b=2$

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là  $y=x+2$

Đáp án cần chọn là: A