Số nghiệm của phương trình sin5x + căn bậc hai 3 cos 5x = 2 sin 7x trên khoảng

Số nghiệm của phương trình \[\sin 5x + \sqrt 3 cos5x = 2\sin 7x\] trên khoảng \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\] là:

A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Đáp án đúng là: A

\(\sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 2\sin 7x\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin 7x\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x = 5x + \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{7x = \pi - 5x - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k\pi }\\{x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{6}}\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.\)

TH1: \(0 < \frac{\pi }{6} + k\pi < \frac{\pi }{2}\)

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\)

TH2: \(0 < \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{6} < \frac{\pi }{2}\)

\( \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{3} + k < 3\)

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < 3 - \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow k = 0,1,2\).

\( \Rightarrow x = \frac{\pi }{{18}},\frac{{2\pi }}{9},\frac{{7\pi }}{{18}}\)

y \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{{18}},\frac{{2\pi }}{9},\frac{{7\pi }}{{18}},\frac{\pi }{6}} \right\}\)

Vậy phương trình có tất cả 4 nghiệm.