Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 2^ (sin^2x) + 3^(cos^2x) > = m.3^(sin^2x)
Câu hỏi:
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: \[{2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} \ge m{.3^{{{\sin }^2}x}}\].
Trả lời:
Đặt sin2 x = a, a Î [0;1]
Bất phương trình trở thành:
2a + 31-a ≥ m.3a
\[ \Leftrightarrow m \le \frac{{{2^a} + {3^{1 - a}}}}{{{3^a}}}\] (1)
Xét phương trình: \[f(a) = \frac{{{2^a} + {3^{1 - a}}}}{{{3^a}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^a} + {3^{1 - 2a}}\] với a Î [0;1]
Ta có: \[f'(a) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^a}.\ln \frac{2}{3} - 2.\ln {3.3^{1 - 2a}} < 0\] với mọi a Î [0;1]
Þ Hàm số nghịch biến trên [0;1]
\[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{a \in {\rm{[}}0\,;\,\,1]} f(a) = f(0) = 4\]
Vậy bất phương trình \[{2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} \ge m{.3^{{{\sin }^2}x}}\] có nghiệm với a £ 4.
