Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; −1), B(1; 4; −1), C(2; 4; 3), D(2; 2; −1), biết M(x; y; z) để MA2 + MB2 + MC² + MD² đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng bao nhiêu?

Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn:

Khi đó $I\left( {\frac{7}{4};\,\,\frac{7}{2};\,\,0} \right)$

Ta có: $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\; + {\rm{ }}M{D^2}$

$= {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {ID} } \right)^2}$

$= 4M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right) + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2}$

$= 4M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2} \ge I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2}$

Dấu “=” xảy ra Û M ≡ I

$\Rightarrow x + y + z = \frac{7}{4} + \frac{7}{2} = \frac{{21}}{4}$