Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 6 = 0 và các điểm

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z + 6 = 0 và các điểm A(−1; 2; 3), B(3; 0; −1), C(1; 4; 7). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 + MB2 + MC² nhỏ nhất.

Trả lời:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC: G(1; 2; 3)

MA² + MB² + MC²

$= {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} = {(\overset{⇀}{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\overset{⇀}{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\overset{⇀}{M G} + \vec{G C})}^{2}$

$= 3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)$

$= 3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right)$ .

MA2 + MB2 + MC² nhỏ nhất Û MG nhỏ nhất (do GA2 + GB2 + GC² không đổi)

Û M là hình chiếu của G trên (P)

Vậy MA2 + MB2 + MC² đạt giá trị nhỏ nhất là 57 và M(0; 4; 1).

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Chứng minh trên đường tròn lượng giác gốc A, cung lượng giác $\frac{{k2\pi }}{3}$ có các điểm biểu diễn tạo thành tam giác đều.

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tìm số nghiệm của phương trình f(x) = 3.

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tìm số nghiệm của phương (ảnh 1)

Xem lời giải »

Câu 3:

Chứng minh hai góc kề nhau của một hình bình hành không thể có số đo là 40° và 50°.

Xem lời giải »

Câu 4:

Tìm chu kì của hàm số $y = \sin \sqrt x$ .

Xem lời giải »

Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; −1), B(1; 4; −1), C(2; 4; 3), D(2; 2; −1), biết M(x; y; z) để MA2 + MB2 + MC² + MD² đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng bao nhiêu?