Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 6 = 0 và các điểm
Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z + 6 = 0 và các điểm A(−1; 2; 3), B(3; 0; −1), C(1; 4; 7). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất.
Trả lời:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC: G(1; 2; 3)
MA2 + MB2 + MC2
\[ = 3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\]
\[ = 3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right)\].
MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất Û MG nhỏ nhất (do GA2 + GB2 + GC2 không đổi)
Û M là hình chiếu của G trên (P)
Vậy MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất là 57 và M(0; 4; 1).
