Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d: y = mx – m + 1 (m ≠ 0) lớn nhất. A. m =  - 1 + căn bậc hai của 2. B. m = 2. C. m = căn bậc hai của 2 D. m = –1.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với các trục Oy, Ox.

Với x = 0, ta có: y = –m + 1. Suy ra tọa độ A(0; –m + 1).

Với y = 0, ta có: $x = \frac{{m - 1}}{m}$. Suy ra tọa độ $B\left( {\frac{{m - 1}}{m};0} \right)$.

Kẻ OH vuông góc với AB.

Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là lớn nhất.

⇔ OH lớn nhất.

Ta có OA = |–m + 1|, $OB = \left| {\frac{{m - 1}}{m}} \right|$.

Tam giác OAB vuông tại O có OH là đường cao:

$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} + 1}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}$.

Suy ra $O{H^2} = \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 1}}$.

Do đó $OH = \frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}$.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcopki, ta có: $\frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} \le \sqrt {2.\frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2} + 1}}} = \sqrt 2$.

Dấu “=” xảy ra ⇔ m = –1.

Vậy m = –1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án D.