Tìm m để phương trình cos2x - (2m - 1)cosx - m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm

Tìm m để phương trình cos2x ‒ (2m − 1)cosx ‒ m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right].$

A. ‒1 < m ≤ 0.

B. 0 ≤ m < 1.

C. 0 ≤ m ≤ 1.

D. ‒1 < m < 1.

Đáp án đúng là: B

cos2x − (2m − 1)cosx − m + 1 = 0 (1)

⇔ 2cos2x − (2m − 1)cosx − m = 0

Đặt cosx = t

Phương trình trên trở thành:

2t² − (2m − 1)t − m = 0

(2t² − 2mt) + (t − m) = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{2}\\t = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - \frac{1}{2}\\\cos x = m\end{array} \right.$

Vì $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ nên 0 ≤ cosx ≤ 1.

Do đó $\cos x = - \frac{1}{2}$ (loại)

Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$  khi và chỉ khi 0 ≤ cosx < 1

⇔ 0 ≤ m < 1. (Nếu cosx = 1 thì có đúng 1 nghiệm x = 0 ⇒ cosx < 1)