Tìm m để phương trình cos2x - (2m - 1)cosx - m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm
Câu hỏi:
Tìm m để phương trình cos2x ‒ (2m − 1)cosx ‒ m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm \[x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right].\]
A. ‒1 < m ≤ 0.
B. 0 ≤ m < 1.
C. 0 ≤ m ≤ 1.
D. ‒1 < m < 1.
Trả lời:
Đáp án đúng là: B
cos2x − (2m − 1)cosx − m + 1 = 0 (1)
⇔ 2cos2x − (2m − 1)cosx − m = 0
Đặt cosx = t
Phương trình trên trở thành:
2t2 − (2m − 1)t − m = 0
(2t2 − 2mt) + (t − m) = 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{2}\\t = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - \frac{1}{2}\\\cos x = m\end{array} \right.\]
Vì \[x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\] nên 0 ≤ cosx ≤ 1.
Do đó \[\cos x = - \frac{1}{2}\] (loại)
Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm \[x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\] khi và chỉ khi 0 ≤ cosx < 1
⇔ 0 ≤ m < 1. (Nếu cosx = 1 thì có đúng 1 nghiệm x = 0 ⇒ cosx < 1)
