Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx^3 - (m^2 + 1)x^2

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=m{x}^3-(m^2+1)x^2+2x-3$ đạt cực tiểu tại điểm x = 1

A. $m=\frac{3}{2}$

B. m = 0

C. m = -2

D. Không có giá trị nào của m

Trả lời:

Đáp án A

Tập xác định : $D=ℝ$

Ta có : $y^{\text{'}}=3m{x}^2-2\left(m^2+1\right)x+2$

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=6mx-2\left(m^2+1\right)$

Điều kiện cần : hàm số đạt cực tiểu tại $x=1\Rightarrow y^{\text{'}}\left(1\right)=0$

$\Rightarrow 3m-2\left(m^2+1\right)+2=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Điều kiện đủ :

+) Với m = 0 ta có $\left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(1\right)=0\\ {y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(1\right)=-2<0\end{array}\right.$ $\Rightarrow$ hàm số đạt cực đại tại $x=1\Rightarrow m=0$ không thỏa mãn.

+) Với $m=\frac{3}{2}$ ta có $\left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(1\right)=0\\ {y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{5}{2}>0\end{array}\right.$ $\Rightarrow$ hàm số đạt cực tiểu tại $x=1\Rightarrow m=\frac{3}{2}$ thỏa mãn.

Vậy với $m=\frac{3}{2}$ thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1