Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=2cosx+3/ 2cosx-m

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{2 \cos x + 3}{2 \cos x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{3}) .$

A. $m \in (- 3; + \infty) .$

B. $m \in (- \infty; - 3] \cup [2; + \infty) .$

C. $m \in (- \infty; - 3) .$

D. $m \in (- 3; 1] \cup [2; + \infty) .$

Trả lời:

Đặt $t = \cos x$ , với $x \in (0; \frac{π}{3}) \overset{}{\to} t \in (\frac{1}{2}; 1)$ .

Hàm số trở thành $y (t) = \frac{2 t + 3}{2 t - m} \overset{}{\to} y' (t) = \frac{- 2 m - 6}{{(2 t - m)}^{2}}$ .

Ta có $t' = - \sin x < 0, \forall x \in (0; \frac{π}{3})$ , do đó $t = \cos x$ nghịch biến trên $(0; \frac{π}{3}) .$

Do đó YCBT $\overset{}{\leftrightarrow} y (t)$ đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{2}; 1)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 m - 6 > 0 \\ 2 t - m \neq 0 \end{cases}, \forall t \in (\frac{1}{2}; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < - 3 \\ m \neq 2 t \end{cases}, \forall t \in (\frac{1}{2}; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < - 3 \\ m \notin (1; 2) \end{cases} \Leftrightarrow m < - 3.$

Nhận xét. Do $t \in (\frac{1}{2}; 1) \to 2 t \in (1; 2)$ . Và $m \notin (1; 2) \overset{}{\leftrightarrow} [\begin{array}{l} m \leq 1 \\ m \geq 2 \end{array} .$