Tìm tất cả những giá trị thực của m để bất phương trình sau có nghiệm với

Câu hỏi:

Tìm tất cả những giá trị thực của m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x thuộc tập xác định $\sqrt[4]{2 x} + \sqrt{2 x} + 2 \sqrt[4]{6 - x} + 2 \sqrt{6 - x} > m$

A. $m > \sqrt[4]{12} + 2 \sqrt{3}$

B. $m < 6 + 3 \sqrt{2}$

C. $m < \sqrt[4]{12} + 2 \sqrt{3}$

D. $m > 2 \sqrt[4]{6} + 2 \sqrt{6}$

Trả lời:

Đáp án C

Xét hàm số $f (x) = \sqrt[4]{2 x} + \sqrt{2 x} + 2 \sqrt[4]{6 - x} + 2 \sqrt{6 - x}$ trên đoạn $[0; 6]$

Ta có: $f' (x) = \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt[4]{{(2 x)}^{3}}} - \frac{1}{\sqrt[4]{{(6 - x)}^{3}}}) + (\frac{1}{\sqrt{2 x}} - \frac{1}{\sqrt{6 - x}})$

$\Leftrightarrow f' (x) = (\frac{1}{\sqrt[4]{2 x}} - \frac{1}{\sqrt[4]{6 - x}}) [\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt[4]{{(2 x)}^{2}}} + \frac{1}{\sqrt[4]{{(6 - x)}^{2}}} + \frac{1}{\sqrt[4]{2 x (6 - x)}}) + (\frac{1}{\sqrt[4]{2 x}} + \frac{1}{\sqrt[4]{6 - x}})]$

Vì $\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt[4]{{(2 x)}^{2}}} + \frac{1}{\sqrt[4]{{(6 - x)}^{2}}} + \frac{1}{\sqrt[4]{2 x (6 - x)}}) + (\frac{1}{\sqrt[4]{2 x}} + \frac{1}{\sqrt[4]{6 - x}}) > 0, \forall x \in (0; 6)$ nên $f' (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt[4]{2 x}} - \frac{1}{\sqrt[4]{6 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Mà $f (0) = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt[4]{6}; f (2) = 3 \sqrt{2} + 6; f (6) = 2 \sqrt{3} + \sqrt[4]{12}$

Nên $\max_{[0; 6]} f (x) = f (2) = 3 \sqrt{2} + 6$ và $\min_{[0; 6]} f (x) = f (6) = \sqrt[4]{12} + 2 \sqrt{3}$

Khi đó, để phương trình có nghiệm với mọi $x \in [0; 6]$ thì $m < \min_{[0; 6]} f (x) \Leftrightarrow m < \sqrt[4]{12} + 2 \sqrt{3}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 2 m - 4$ đi qua điểm $N (- 2; 0)$

Xem lời giải »

Câu 2:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng $y = m (x - 4)$ cắt đồ thị của hàm số $y = (x^{2} - 1) (x^{2} - 9)$ tại bốn điểm phân biệt?

Xem lời giải »

Câu 3:

Hàm số $y = {(x + m)}^{3} + {(x + n)}^{3} - x^{3}$ (tham số m, n) đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4 (m^{2} + n^{2}) - m - n$ bằng:

Xem lời giải »

Câu 4:

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f(x)

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |f (x - 1) + m|$ có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:

Xem lời giải »

Câu 5:

Nhà xe khoán cho hai tài xế tacxi A và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng. Hỏi tổng số ngày ít nhất là bao nhiêu để tài xế chạy tiêu thụ hết số xăng của mình được khoán, biết rằng chỉ tiêu cho hai người một ngày tổng cộng chỉ chạy đủ hết 10 lít xăng?

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên

Phương trình $|f (x - 2) - 2| = π$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f (\sin x) = m$ có nghiệm thuộc khoảng $(0; π)$ là:

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ

Đặt $g (x) = 3 f (x) - x^{3} + 3 x - m$ , với m là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình $g (x) \geq 0$ đúng với $\forall x \in [- \sqrt{3}; \sqrt{3}]$ là:

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Tìm tất cả những giá trị thực của m để bất phương trình sau có nghiệm với

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: