Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(1; −2), B(4; 1), C(4; −5). a) Chứng minh A, B, C là ba

Câu hỏi:

Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(1; −2), B(4; 1), C(4; −5).

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC và tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Điểm I thỏa mãn $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$ . Tìm tọa độ điểm I.

c) Xét hình thang ABCD với hai đáy AB và CD thỏa mãn AB = 2CD. Tìm tọa độ đỉnh D.

Trả lời:

a) Ta có: $\vec{A B} = (3; 3), \vec{A C} = (3; - 3)$

Do $\frac{3}{3} = 1 \neq - 1 = \frac{3}{- 3}$ suy ra $\vec{A B}, \vec{A C}$ không cùng phương.

Hay A, B, C là ba đỉnh của tam giác.

Tọa độ trung điểm của BC là

$I (\frac{x_{B} + x_{C}}{2}; \frac{y_{B} + y_{C}}{2}) \Rightarrow I (\frac{4 + 4}{2}; \frac{1 - 5}{2}) \Rightarrow I (4; - 2)$

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

$G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

$\Rightarrow G (\frac{1 + 4 + 4}{3}; \frac{- 2 + 1 - 5}{3}) \Rightarrow G (3; - 2)$

b) Gọi I(x; y)

$\Rightarrow \{\begin{cases} \vec{I A} = (1 - x; - 2 - y) \\ \vec{I B} = (4 - x; 1 - y) \\ \vec{I C} = (4 - x; - 5 - y) \end{cases}$

Do $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (13 - 4 x; - 11 - 4 y) = \vec{0} = (0; 0)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 13 - 4 x = 0 \\ - 11 - 4 y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{13}{4} \\ y = - \frac{11}{4} \end{cases} \Rightarrow I (\frac{13}{4}; - \frac{11}{4})$

c) Gọi D(x; y). Theo giả thiết ta có AB = 2CD và ABCD là hình thang nên

$\vec{A B} = 2 \vec{D C}$

Û (3; 3) = 2(4 − x; −5 − y)

Û (3; 3) = (8 − 2x; −10 − 2y)

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 - 2 x = 3 \\ - 10 - 2 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{2} \\ y = - \frac{13}{2} \end{cases} \Rightarrow D (\frac{5}{2}; - \frac{13}{2})$