15 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ Trắc nghiệm Toán 10 (có đáp án) - Chân trời sáng tạo
Haylamdo biên soạn và sưu tầm với 15 bài tập trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 10.
15 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ Trắc nghiệm Toán 10 (có đáp án) - Chân trời sáng tạo
Câu 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 , AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ A C → và B D → .
A. 89°;
B. 92°;
C. 109°;
D. 91°.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: C
Tam giác ACD vuông tại D: cos C A D ^ = A D A C .
Tam giác ABC vuông tại B: cos C A B ^ = A B A C .
Ta có A C → . B D → = A C → . A D → − A B → = A C → . A D → − A C → . A B → .
= A C . A D . cos C A D ^ − A C . A B . cos C A B ^
= A C . A D . A D A C − A C . A B . A B A C
= AD2 – AB2 = 1 – 2 = –1.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = 2 và AC = BD.
Tam giác ACD vuông tại D: AC2 = AD2 + CD2 (Định lý Pytago)
⇔ A C 2 = 1 2 + 2 2 = 3
⇒ A C = 3 .
Do đó BD = AC = 3 .
Lại có: A C → . B D → = A C . B D . cos A C → , B D →
⇔ − 1 = 3 . 3 . cos A C → , B D →
⇔ cos A C → , B D → = − 1 3 .
⇒ A C → , B D → ≈ 109 ° 28 ' .
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 2. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính A H → , B A → .
A. 30°;
B. 60°;
C. 120°;
D. 150°.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: D
Vẽ A E → = B A → .
Khi đó ta có A H → , B A → = A H → , A E → = H A E ^ = α .
Tam giác ABC đều có AH là đường cao.
Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC.
Tam giác ABC đều, suy ra B A C ^ = 60 ° .
Do đó H A B ^ = 1 2 B A C ^ = 1 2 .60 ° = 30 ° .
Ta có: H A E ^ + H A B ^ = 180 ° (hai góc kề bù)
⇔ H A E ^ = 180 ° − 30 ° = 150 ° .
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 3. Cho a → và b → là hai vectơ cùng hướng và đều khác 0 → . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a → . b → = a → . b → ;
B. a → . b → = 0 ;
C. a → . b → = − 1 ;
D. a → . b → = − a → . b → .
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: A
Ta có a → . b → = a → . b → . cos a → , b → .
Vì a → và b → là hai vectơ cùng hướng và đều khác 0 → nên a → , b → = 0 ° , suy ra cos a → , b → = 1 .
Ta suy ra a → . b → = a → . b →
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 4. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng O A → + O B → . A B → = 0 là:
A. Tam giác OAB đều;
B. Tam giác OAB cân tại O;
C. Tam giác OAB vuông tại O;
D. Tam giác OAB vuông cân tại O.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: B
Ta có O A → + O B → . A B → = 0 ⇔ O A → + O B → . O B → − O A → = 0
⇔ O B → 2 − O A → 2 = 0
⇔ OB2 – OA2 = 0
⇔ OB = OA.
Do đó tam giác OAB cân tại O.
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 5. Cho hai vectơ a → và b → thỏa mãn a → = 3 , b → = 2 và a → . b → = − 3 . Xác định góc α giữa hai vectơ a → và b → .
A. α = 30°;
B. α = 45°;
C. α = 60°;
D. α = 120°.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: D
Ta có a → . b → = a → . b → . cos a → , b →
⇔ cos a → , b → = a → . b → a → . b → = − 3 3.2 = − 1 2
⇒ a → , b → = 120 ° .
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 6. Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
A. M N → N P → + P Q → = M N → . N P → + M N → . P Q → ;
B. M P → . M N → = − M N → . M P → ;
C. M N → . P Q → = P Q → . M N → ;
D. M N → − P Q → M N → + P Q → = M N 2 − P Q 2 .
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: B
Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.
Đáp án B sai. Sửa lại: M P → . M N → = M N → . M P → .
Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.
Đáp án D đúng, ta sử dụng bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.
Câu 7. Cho AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm. Tính C A → . C B → .
A. C A → . C B → = 13;
B. C A → . C B → = 15;
C. C A → . C B → = 17;
D. C A → . C B → = 19.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: B
Ta có 2 + 3 = 5 (cm). Ta suy ra AB + BC = AC.
Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
(A, B, C không thể là ba đỉnh của tam giác vì không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).
Suy ra A C B ^ = 0 ° . Do đó C A → , C B → = A C B ^ = 0 ° .
Khi đó C A → . C B → = C A . C B . cos C A → , C B → = 3.5. cos 0 ° = 15 .
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = A C → . C D → + C A → .
A. P = – 1;
B. P = 3a2 ;
C. P = – 3a2 ;
D. P = 2a2 .
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: C
Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Pytago)
⇔ AC2 = a2 + a2 = 2a2
⇒ A C = a 2 .
Vì ABCD là hình vuông có AC là đường chéo nên A C D ^ = 45 ° .
Ta có P = A C → . C D → + C A → = − C A → . C D → + C A → = − C A → . C D → − C A → 2
= − C A . C D . cos C A → , C D → − C A 2 = − a 2 . a . cos 45 ° − 2 a 2 = − 3 a 2 .
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 9. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng A B → , D C → + A D → , C B → + C O → , D C → .
A. 45°;
B. 405°;
C. 315°;
D. 225°.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: C
Ta có A B → , D C → cùng hướng nên A B → , D C → = 0 ° .
Ta có A D → , C B → ngược hướng nên A D → , C B → = 180 ° .
Vẽ C E → = D C → . Khi đó ta có C O → , D C → = C O → , C E → = O C E ^ .
Vì ABCD là hình vuông có OC là đường chéo nên O C B ^ = 45 ° .
Ta có BC ⊥ CD (ABCD là hình vuông)
Suy ra BC ⊥ CE, do đó B C E ^ = 90 ° .
Ta có O C E ^ = O C B ^ + B C E ^ = 45 ° + 90 ° = 135 ° .
Vậy A B → , D C → + A D → , C B → + C O → , D C → = 0 ° + 180 ° + 135 ° = 315 ° .
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 10. Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tính tích vô hướng A B → . A C → .
A. A B → . A C → = 2 a 2 ;
B. A B → . A C → = − a 2 3 2 ;
C. A B → . A C → = − a 2 2 ;
D. A B → . A C → = a 2 2 .
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: D
Ta có A B → , A C → = B A C ^ = A ^ .
Tam giác ABC đều nên A ^ = 60 ° .
Do đó A B → , A C → = A ^ = 60 ° .
Suy ra A B → . A C → = A B . A C . cos A B → , A C → = a . a . cos 60 ° = a 2 2 .
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 11 . Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính P = A B → + A C → . B C → .
A. P = b2 – c2 ;
B. P = b 2 + c 2 2 ;
C. P = c 2 + b 2 + a 2 3 ;
D. P = c 2 + b 2 − a 2 2 .
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: A
Ta có P = A B → + A C → . B C → = A B → + A C → B A → + A C →
= A C → + A B → A C → − A B → = A C → 2 − A B → 2 = A C 2 − A B 2 = b 2 − c 2 .
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 12. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tính A B → . B D → .
A. A B → . B D → = 62;
B. A B → . B D → = 64;
C. A B → . B D → = –62;
D. A B → . B D → = –64.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: D
Vì giả thiết không cho góc nên ta sẽ phân tích các vectơ A B → , B D → theo các vectơ vuông góc với nhau.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB ⊥ BC.
Suy ra A B → ⊥ B C → .
Do đó A B → . B C → = 0 .
Theo quy tắc hình bình hành ta có: B D → = B A → + B C → .
Ta có A B → . B D → = A B → . B A → + B C → = A B → . B A → + A B → . B C →
= − A B → . A B → + 0 = − A B → 2 = − A B 2 = − 64 .
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 13. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn M A → . B C → = 0 là:
A. một điểm;
B. đường thẳng;
C. đoạn thẳng;
D. đường tròn.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: B
Ta có M A → . B C → = 0 ⇔ M A → ⊥ B C → ⇔ M A ⊥ B C .
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 14. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC = a. Tính A B → . B C → .
A. A B → . B C → = − a 2 ;
B. A B → . B C → = a 2 ;
C. A B → . B C → = − a 2 2 2 >;
D. A B → . B C → = a 2 2 2 .
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: A
Vẽ B D → = A B → .
Ta có A B → , B C → = B D → , B C → = C B D ^ .
Tam giác ABC vuông cân tại A. Ta suy ra A B C ^ = 45 ° .
Ta có A B C ^ + C B D ^ = 180 ° (hai góc kề bù)
Khi đó ta được C B D ^ = 180 ° − 45 ° = 135 ° .
Tam giác ABC vuông cân tại A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pytago)
⇔ BC2 = 2a2
⇒ B C = a 2 .
Do đó A B → . B C → = A B . B C . cos A B → , B C → = a . a 2 . cos 135 ° = − a 2 .
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 15. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn M A → M B → + M C → = 0 là:
A. một điểm;
B. đường thẳng;
C. đoạn thẳng;
D. đường tròn.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm BC. Ta suy ra M B → + M C → = 2 M I → .
Ta có M A → M B → + M C → = 0 ⇔ M A → .2 M I → = 0 ⇔ M A → . M I → = 0 ⇔ M A → ⊥ M I → (*)
Biểu thức (*) chứng tỏ MA ⊥ MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông.
Do đó tập hợp các điểm M là một đường tròn đường kính AI.
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 1:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 , AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ A C → và B D → .
A. 89 °;
B. 92 °;
C. 109 ° ;
D. 91 ° .
Xem lời giải »
Câu 2:
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính A H → , B A → .
A. 30 ° ;
B. 60 ° ;
C. 120 ° ;
D. 150 ° .
Xem lời giải »
Câu 3:
Cho a → và b → là hai vectơ cùng hướng và đều khác 0 → . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a → . b → = a → . b →
B. a → . b → = 0
C. a → . b → = - 1
D. a → . b → = - a → . b →
Xem lời giải »
Câu 4:
Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng O A → + O B → . A B → = 0 là:
A. Tam giác OAB đều;
B. Tam giác OAB cân tại O;
C. Tam giác OAB vuông tại O;
D. Tam giác OAB vuông cân tại O.
Xem lời giải »
Câu 5:
Cho hai vectơ a → và b → thỏa mãn a → = 3 , b → = 2 và a → . b → = − 3 . Xác định góc α giữa hai vectơ a → và b → .
A. α = 30 ° ;
C. α = 60 ° ;
D. α = 120 ° .
Xem lời giải »
Câu 6:
Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
A. M N → N P → + P Q → = M N → . N P → + M N → . P Q →
B. M P → . M N → = − M N → . M P →
C. M N → . P Q → = P Q → . M N →
D. M N → − P Q → M N → + P Q → = M N 2 − P Q 2
Xem lời giải »
Câu 7:
Cho AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm. Tính C A → . C B → .
A. C A → . C B → = 13
B. C A → . C B → = 15
C. C A → . C B → = 17
D. C A → . C B → = 19
Xem lời giải »
Câu 8:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = A C → . C D → + C A → .
A. P = – 1;
B. P = 3a2 ;
C. P = – 3a2 ;
D. P = 2a2 .
Xem lời giải »
Câu 9:
Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng A B → , D C → + A D → , C B → + C O → , D C → .
A. 45 ° ;
B. 405 ° ;
C. 315 ° ;
D. 225 ° .
Xem lời giải »
Câu 10:
Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tính tích vô hướng A B → . A C → .
A. A B → . A C → = 2 a 2
B. A B → . A C → = − a 2 3 2
C. A B → . A C → = − a 2 2
D. A B → . A C → = a 2 2
Xem lời giải »
Câu 11:
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính P = A B → + A C → . B C → .
A. P = b 2 − c 2
B. P = b 2 + c 2 2
C. P = c 2 + b 2 + a 2 3
D. P = c 2 + b 2 − a 2 2
Xem lời giải »
Câu 12:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tính A B → . B D → .
A. A B → . B D → = 62
B. A B → . B D → = 64
C. A B → . B D → = - 62
D. A B → . B D → = - 64
Xem lời giải »
Câu 13:
Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn M A → . B C → = 0 là:
A. một điểm;
B. đường thẳng;
C. đoạn thẳng;
D. đường tròn.
Xem lời giải »
Câu 14:
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC = a. Tính A B → . B C → .
A. A B → . B C → = − a 2
B. A B → . B C → = a 2
C. A B → . B C → = − a 2 2 2
D. A B → . B C → = a 2 2 2
Xem lời giải »
Câu 15:
Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn M A → M B → + M C → = 0 là:
A. một điểm;
C. đoạn thẳng;
D. đường tròn.
Xem lời giải »
Câu 1:
Cho hai vectơ a → và b → khác 0 → . Góc α giữa hai vectơ a → và b → khi a → . b → = − a → . b → là
A. α = 0°;
B. α = 45°;
C. α = 90°;
D. α = 180°.
Xem lời giải »
Câu 2:
Cho 3 điểm A, B, C. Biết AB = 2, AC = 3, A B → . A C → = 3 . Số đo của góc BAC là
B. B A C ^ = 60 o ;
C. B A C ^ = 90 o ;
D. B A C ^ = 120 o .
Xem lời giải »
Câu 3:
Cho 2 vectơ a → và b → thỏa mãn: a → = 1 và b → = 2 . Biết 2 vectơ u → = 2 a → + b → và v → = a → − b → vuông góc với nhau. Tìm góc α giữa 2 vectơ a → và b → ?
A. α = 0°;
B. α = 60°;
C. α = 90°;
D. α = 180°.
Xem lời giải »
Câu 4:
Tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tích A B → . A C → có giá trị là
A. a 2 3 ;
B. a 2 2 ;
C. a 2 3 2 ;
D. a 2 4 .
Xem lời giải »
Câu 5:
Cho hình vuông ABDC cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?
B. A C → . A D → = a 2 2 ;
C. A C → . A D → = 0 ;
D. A C → . A D → = a 2 4 .
Xem lời giải »
Câu 6:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Kẻ AH vuông góc với BC. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. A H → , B C → = 90 o ;
B. A H → . B C → = 0 ;
C. A H → , A B → = 150 o ;
D. A B → . A C → = a 2 2 .
Xem lời giải »
Câu 7:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A cạnh góc vuông bằng a. Tính A C → . C B → .
A. A C → . C B → = − a 2 ;
B. A C → . C B → = a 2 ;
C. A C → . C B → = − 2 a 2 ;
D. A C → . C B → = 2 a 2 .
Xem lời giải »
Câu 8:
Cho hình thoi ABCD cạnh a và B A D ^ = 60 ° . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A B → . A D → < 0 ;
B. A B → . B C → < 0 ;
C. B D → . A C → < 0 ;
D. A B → . C A → < 0 .
Xem lời giải »
Câu 1:
Một người kéo một vật nặng trên mặt sàn nằm ngang với lực F → tạo với phương ngang một góc α = 60° làm cho vật đó dịch chuyển 50 m theo vectơ d → . Tìm độ lớn của lực F → biết công người đó kéo đi là A = 2 000 J.
A. F = 80 N;
B. F = 800 N;
C. F = 8 N;
D. F = 8 000 N.
Xem lời giải »
Câu 2:
Cho tam giác ABC nhọn, đặt BC = a; AC = b, AB = c. Tính P = A B → + A C → . B C → theo a, b, c.
A. P = b 2 − c 2 ;
B. P = c 2 + b 2 2 ;
C. P = c 2 + b 2 + a 2 3 ;
D. P = c 2 + b 2 − a 2 2 .
Xem lời giải »
Câu 3:
Cho tam giác ABC nhọn, gọi BC = a, AC = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính A M → . B C → .
A. A M → . B C → = b 2 − c 2 2 ;
B. A M → . B C → = b 2 + c 2 2 ;
C. A M → . B C → = b 2 − c 2 + a 2 2 ;
D. A M → . B C → = b 2 − c 2 2 a .
Xem lời giải »
Câu 4:
Cho hình vuông ABCD có AB = a. Tính P = A C → . C D → + C A → .
A. P = –1 ;
B. P = 3a2 ;
C. P = – 3a2 ;
D. P = 2a2 .
Xem lời giải »
Câu 5:
Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 12 cm, góc ABC là góc nhọn và diện tích bằng 54 cm2 . Tính c o s A B → , B C → .
A. c o s A B → , B C → = 2 7 16 ;
B. c o s A B → , B C → = − 2 7 16 ;
C. c o s A B → , B C → = 5 7 16 ;
D. c o s A B → , B C → = − 5 7 16 .
Xem lời giải »