30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 4 (có lời giải) - Chân trời sáng tạo

Đáp án đúng là: C

Ta có:

tan89° = tan(90° ‒ 1°) = cot1°;

tan88° = tan(90° ‒ 2°) = cot2°;

…

tan46° = tan(90° ‒ 44°) = cot44°.

Do đó: M = tan1°.tan2°.tan3°….tan89°

M = tan1°.tan2°….tan44°.tan45°.cot44°….cot2°.cot1°

M = (tan1°.cot1°).(tan2°.cot2°)…(tan44°.cot44°).tan45°

M = 1.1….1.1

M = 1.

Vậy M = 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $M=\frac{\sin 60°+\tan 30°}{\cot 120°+cos30°}$

$M=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$M=\frac{3\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}:\frac{-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{6}$

$M=\frac{5\sqrt{3}}{6}:\frac{\sqrt{3}}{6}$

$M=\frac{5\sqrt{3}}{6}.\frac{6}{\sqrt{3}}=5.$

Vậy M = 5.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có: $\cos A=\frac{A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2}{2.AC.AB}$

$\Rightarrow \cos A=\frac{9^2+8^2-{10}^2}{\mathrm{2.9.8}}=\frac{5}{16}>0$

Suy ra $\hat{A}$ là góc nhọn.

Tam giác ABC có cạnh BC lớn nhất đối diện với $\hat{A}$ nên $\hat{A}$ là góc lớn nhất.

Do đó $\hat{B},\hat{C}$ cũng là góc nhọn.

Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC có ta có: $\hat{A}=75°,\hat{B}=45°$

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{B}$

$\Rightarrow \hat{C}=180°-75°-45°=60°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{\sin 60°}{\sin 45°}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$

Vậy $\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

a² = b² + c² ‒ 2.bc.cosA

=> a² = b² + c² ‒ 2.bc.cos120°

$\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2.bc.\left(-\frac{1}{2}\right)$

=> a² = b² + c² + bc.

Vậy a² = b² + c² + bc.

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD là hình thoi nên BC // AD (tính chất hình thoi)

Do đó $\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=180°$ (hai góc trong cùng phía)

Mà $\widehat{BAD}=60°\Rightarrow \widehat{ABC}=120°$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.$cos\widehat{ABC}$

=> AC² = 1² + 1² – 2.1.1.cos120° = 3

$\Rightarrow AC=\sqrt{3}\left(cm\right).$

Vậy $AC=\sqrt{3}\left(cm\right).$

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

+) $\cos \widehat{ABC}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}$

$\Rightarrow \cos \widehat{BAC}=\frac{{\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{2.\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right).\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=45°$

+) $\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$

$\Rightarrow \cos \widehat{BAC}=\frac{{\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{2.\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right).\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=120°\Rightarrow \widehat{BAD}=60°$ ( vì AD là tia phân giác của )

Xét tam giác ABD có $\widehat{BAD}=60°$ và $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=45°$ ta có:

$\widehat{BAD}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=180°-\widehat{BAD}-\widehat{ABD}$

$\Rightarrow \widehat{ADB}=180°-60°-45°=75°$

Vậy $\widehat{ADB}=75°.$

Đáp án đúng là: D

Nửa chu vi tam giác là: $p=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{2}$

Diện tích tam giác theo công thức Heron là:

$S=\sqrt{p.\left(p-\sqrt{3}\right).\left(p-\sqrt{2}\right).\left(p-1\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$(đơn vị diện tích)

Mặt khác $S=\frac{1}{2}h.đáy$

Do đó đường cao ứng với cạnh lớn nhất $\sqrt{3}$ là: $h=\frac{2S}{đáy}=\frac{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Vậy độ dài đường cao ứng với cạnh lớn nhất của tam giác là $\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC có góc B tù nên suy ra góc A là góc nhọn.

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}=\frac{2.3\sqrt{3}}{3.4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mà góc A là góc nhọn

$\Rightarrow \hat{A}=60°$

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, giả sử AB = AC = a, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow BC=a\sqrt{2}.$

Do đó nửa chu vi tam giác ABC là $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{a+a+a\sqrt{2}}{2}=a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)$

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$

Mặt khác $S=pr=\frac{AB.AC.BC}{4R}$

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{a^2}{2}}{a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)}=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$ và $R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{a.a.a\sqrt{2}}{4.\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Do đó $\frac{R}{r}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2+\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a}{2+\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2+\sqrt{2}}{a}=1+\sqrt{2}$

Vậy $\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}.$

Đáp án đúng là: D

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = 3.

Vì ND = 3NC nên NC = 1 và ND = 3.

Tam giác CMN vuông tại C theo định lí Py – ta – go có:

MN² = MC² + NC² = 3² + 1² = 10 $\Rightarrow MN=\sqrt{10}.$

Tam giác AND vuông tại D theo định lí Py – ta – go có:

AN² = AD² + DN² = 6² + 3² = 45 $\Rightarrow AN=3\sqrt{5}.$

Tam giác ABM vuông tại B theo định lí Py – ta – go ta có:

AM² = AB² + BM² = 4² + 3² = 25 Þ AM = 5.

Nửa chu vi của tam giác AMN là: $p=\frac{AM+AN+MN}{2}=\frac{5+3\sqrt{5}+\sqrt{10}}{2}$

Diện tích tam giác AMN theo công thức Heron là:

$S=\sqrt{p\left(p-AM\right)\left(p-AN\right)\left(p-MN\right)}=7,5$ (đơn vị diện tích)

Mặt khác $S=\frac{AM.AN.MN}{4R}\Rightarrow R=\frac{AM.AN.MN}{4S}$

$\Rightarrow R=\frac{5.3\sqrt{5}.\sqrt{10}}{4.7,5}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng $\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Giả sử tam giác có độ dài ba cạnh là a = 52, b = 56, c = 60.

Nửa chu vi tam giác là: $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{52+56+60}{2}=84$

Ta có diện tích tam giác là: $S=\frac{abc}{4R}=pr$

$\Rightarrow S=\frac{\mathrm{52.56.60}}{4R}=84.r$

=> 52.56.60 = 84r.4R

=> R.r = 520.

Vậy R.r = 520.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: c² = a² + b² – 2.a.b.cosC

Þ a² + b² ‒ c² = 2.a.b.cosC

+) Nếu a² + b² – c² < 0 thì 2.a.b.cosC < 0 nên cosC < 0 Þ là góc tù;

+) Nếu a² + b² – c² > 0 thì 2.a.b.cosC > 0 nên cosC > 0 Þ là góc nhọn.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

- Tam giác ABC là tam giác đều nên $\widehat{BAC}=60°$

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\mathrm{.1.1.}\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{4}$(đơn vị diện tích).

- Hình vuông ABDE có cạnh AB = 1 nên có diện tích là: S_ABDE = 1² = 1 (đơn vị diện tích).

Tương tự S_BCMN = 1 (đơn vị diện tích) và S_CAHK = 1 (đơn vị diện tích).

- Tam giác AEH có:

$\widehat{EAH}=360°-\widehat{EAB}-\widehat{BAC}-\widehat{CAF}=360°-90°-60°-90°=120°.$

Diện tích tam giác AEH là:

$S_{AEH}=\frac{1}{2}.AE.AH.\sin \widehat{EAH}=\frac{1}{2}\mathrm{.1.1.}\sin 120°=\frac{\sqrt{3}}{4}$(đơn vị diện tích).

Tương tự ta có: $S_{BDN}=\frac{\sqrt{3}}{4}$(đơn vị diện tích) và $S_{CKM}=\frac{\sqrt{3}}{4}$(đơn vị diện tích)

Do đó diện tích của lục giác DEHKMN là:

S_DEHKMN = S_ABC + 3.S_ABDE + 3.S_AEH

$\Rightarrow S_{DEHKMN}=\frac{\sqrt{3}}{4}+3.1+3.\frac{\sqrt{3}}{4}=3+\sqrt{3}$(đơn vị diện tích).

Vậy $S_{DEHKMN}=3+\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Đáp án đúng là:

Áp dụng hệ quả định lí sin cho tam giác ABC ta có:

BC = 2R.sinA; AC = 2R.sinB; AB = 2R.sinC.

Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có: AB + AC > BC

=> 2R.sinC + 2R.sinB > 2R.sinA

=> sinC + sinB > sinA.

Chứng minh tương tự ta cũng có: sinA + sinB > sinC và sinA + sinC > sinB.

Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{B}+\hat{C}=180°-\hat{A}$

=> cos(B + C) = cos(180° ‒ A) = ‒cosA;

Và sin(B + C) = sin(180° ‒ A)= sinA.

Do đó:

sinA.cos(B + C) + cosA.sin(B + C)

= sinA.(‒cosA) + cosA.sinA

= ‒sinA.cosA + cosA.sinA

= 0

Vậy sinA.cos(B + C) + cosA.sin(B + C) = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

+) sin0° + cos0° = 0 + 1 = 1. Do đó phương án A là mệnh đề sai.

+) sin90° + cos90° = 1 + 0 = 1. Do đó phương án B là mệnh đề đúng.

+) sin180° + cos180° = 0 + (‒1) = ‒1. Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

+)$sin60°+cos60°=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.$ Do đó phương án D là mệnh đề đúng.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Vì tanα = ‒3 nên $\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }=-3$ do đó cosα ≠ 0

Ta có: $P=\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{7\sin \alpha +6\cos \alpha }$

$P=\frac{\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{cos\alpha }}{\frac{7\sin \alpha +6\cos \alpha }{cos\alpha }}$(do cosα ≠ 0)

$P=\frac{6\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-7}{7\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+6}$

$P=\frac{6\tan \alpha -7}{7\tan \alpha +6}$

$P=\frac{6.\left(-3\right)-7}{7\left(-3\right)+6}=\frac{-25}{-15}=\frac{5}{3}$

Vậy $P=\frac{5}{3}.$

Đáp án đúng là: D

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Gọi (x₀; y₀) là toạ độ điểm M, ta có:

- Tung độ y₀ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = y₀;

- Hoành độ x₀ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = x₀;

- Tỉ số $\frac{y_0}{x_0}$(x₀ ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};$

- Tỉ số $\frac{x_0}{y_0}$(y₀ ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là $\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}.$

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy.

Khi đó ta có: OH = x₀ = cosα, MH = OK = y₀ = sinα, OM = 1.

Tam giác OMH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

MH² + OH² = OM²

Hay sin²α + cos²α = 1.

Do đó phương án A là mệnh đề đúng.

Với 0° < α < 180° và α ≠ 90° ta có: $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};$ $\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}.$

$\Rightarrow \tan \alpha .\cot \alpha =\frac{y_0}{x_0}.\frac{x_0}{y_0}=1.$ Do đó phương án B là mệnh đề đúng.

Với α ≠ 90° ta có: $1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{{\text{cos}}^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{1}{co{s}^2\alpha }$(do sin²α + cos²α = 1).

Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

Với 0° < α < 180° và α ≠ 90° ta có:

$1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cot }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (do sin²α + cos²α = 1).

Do đó phương án D là mệnh đề sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Để tìm α khi biết tanα = 1,607 thì ta sử dụng máy tính cầm tay và tính được: α ≈ 58°.

Vậy α ≈ 58°.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

=> DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Vậy DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có $\hat{A}$ là góc tù nên $\hat{B},\hat{C}$ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \frac{R\sqrt{2}}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}=2R$

Xét tam giác ABC có $\hat{B}=45°,\hat{C}=30°$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A}=180°-\hat{B}-\hat{C}$

$\Rightarrow \hat{A}=180°-45°-35°=105°$

Vậy $\hat{A}=105°.$

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}=\frac{3^2+4^2-2^2}{\mathrm{2.3.4}}=\frac{7}{8}.$

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng $\frac{7}{8}.$

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}=\frac{2.120}{10.24}=1$

Mà $0°<\hat{A}<180°$

$\Rightarrow \hat{A}=90°$

=> DABC vuông tại A

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² Þ BC² = 10² + 24² = 676

=> BC = 26.

Do đó trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC có độ dài là: $AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.26=13.$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM bằng 13.

Đáp án đúng là: C

Vì BE là trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC.

Do đó $EC=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.30=15\left(cm\right)$

Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $GE=\frac{1}{3}BE$(tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay $\frac{GE}{BE}=\frac{1}{3}.$

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ G xuống AC.

Suy ra GH // AB.

Do đó $\frac{GH}{BA}=\frac{GE}{BE}$(định lí Ta – let trong tam giác ABE)

Hay $\frac{GH}{BA}=\frac{1}{3}\Rightarrow GH=\frac{1}{3}.BA=\frac{1}{3}.30=10\left(cm\right)$

Diện tích tam giác GEC là:

Vậy diện tích tam giác GEC là 75 cm².

Đáp án đúng là: D

Ta có diện tích ban đầu của tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.BC.AC.\sin C$.

Diện tích của tam giác mới sau khi thay đổi kích thước là:

$S^{\text{'}}=\frac{1}{2}.2BC.3AC.\sin C=6.\left(\frac{1}{2}.BC.AC.\sin C\right)=6S$.

Vậy diện tích của tam giác mới được tạo thành là 6S.

Ta có $\widehat{CAB}=180°-51°40\text{'}=128°20\text{'}$

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-\widehat{CAB}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-128°20\text{'}-45°39\text{'}=6°1\text{'}.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow \frac{AC}{\sin 45°39\text{'}}=\frac{10}{\sin 6°1\text{'}}\Rightarrow AC=\frac{10.\sin 45°39\text{'}}{\sin 6°1\text{'}}$

Xét tam giác ACH vuông tại H có: $CH=AC.\sin \widehat{CAH}$

$\Rightarrow CH=\frac{10.\sin 45°39\text{'}}{\sin 6°1\text{'}}.\sin 51°40\text{'}$≈ 53,51 (m)

Chiều cao của cột cờ là khoảng: 1,5 + 53,51 = 55,01 (m)

Vậy cột cờ cao khoảng 55,01 m.

Đáp án đúng là: A

Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABC là: $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{4,3+7,5+3,7}{2}=\frac{31}{4}\left(cm\right)$

Diện tích tam giác ABC theo công thức Heron là:

Mặt khác: $S=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}\approx 5,2\left(c{m}^2\right)$

Vậy bán kính của chiếc đĩa là khoảng 5,73 cm.

Đáp án đúng là: B

Gọi x giờ (x > 0) là khoảng thời gian kể từ khi bắt đầu chạy từ điểm O đến khi hai vận động viên cách nhau 10 km.

Khi đó đoạn đường mà vận động viên A chạy được là 13x (km);

Đoạn đường mà vận động viên B chạy được là 12x (km).

Theo hình vẽ trên ta có: AB = 10, OA = 13x, OB = 12x và $\widehat{AOB}=135°-15°=120°$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB ta có:

AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.$\sin \widehat{AOB}$

=> 10² = (13x)² + (12x)² – 2.13x.12x.sin120°

$\Rightarrow {10}^2=169x^2+144x^2-312x^2.\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow {10}^2=\left(313-156\sqrt{3}\right)x^2$

$\Rightarrow x^2=\frac{10}{313-156\sqrt{3}}$=> x ≈ 0,483 (giờ) (vì x > 0) ≈ 29 phút.

Do đó thời điểm mà hai vận động viên cách nhau 10 km là khoảng: 9 giờ 29 phút.

Vậy vào khoảng 9 giờ 29 phút thì hai vận động viên sẽ cách nhau 10 km.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{SQB}=\widehat{PQT}=\alpha ,\widehat{TPO}=\beta$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

PQ² = OP² + OQ² – 2.OP.OQ.cos$\widehat{POQ}$

$\Rightarrow P{Q}^2=2^2+{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2–\mathrm{2.2.}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right).cos45°$=> PQ² = 8

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

$cos\alpha =cos\widehat{OQP}=\frac{O{Q}^2+P{Q}^2-O{P}^2}{2.OQ.PQ}=\frac{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2+8-2^2}{2.\left(\sqrt{2}+\sqrt{+6}\right).2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

=> α = 30°

Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)

Þ β = 45° + 30° = 75° $\Rightarrow \widehat{TPO}=75°$

Xét tam giác OTP ta có: $\widehat{OTP}+\widehat{TOP}+\widehat{TPO}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hay $\widehat{OTP}+45°+75°=180°$

Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: $\frac{OP}{\sin \widehat{OTP}}=\frac{PT}{\sin \widehat{TOP}}$

$\Rightarrow \frac{2}{\sin 60°}=\frac{PT}{\sin 45°}\Rightarrow PT=\frac{2.\sin 45°}{\sin 60°}=\frac{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $PT=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$