Cho a, b, c > 0 và a + b + c < = 1. Chứng minh rằng 1 / (x^2 + 2bc) + 1 / (b^2 + 2ac)
Câu hỏi:
Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng
\[\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} \ge 9\].
Trả lời:
Ta chứng minh đẳng thức: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\](với a, b, c > 0)
Ta có: \[\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = 3 + \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right) + \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right)\]
≥ \[3 + 2\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} + 2\sqrt {\frac{b}{c}.\frac{c}{b}} + 2\sqrt {\frac{a}{c}.\frac{c}{a}} \](Bất đẳng thức Cô–si)
= 3 + 2 + 2 + 2 = 9
Áp dụng ta có:
\[\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} \ge \frac{9}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca}} = \frac{9}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = 9\]
Dấu “=” khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\).
