Cho a; b; c là các số thực không âm có: a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 3(a^3 + b^3 + c^3) lớn hơn bằng a^2 + b^2 + c^2.

Cho a; b; c là các số thực không âm có: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

3(a³ + b³ + c³) ³ a² + b² + c².

Lời giải

Bổ đề: Với a, b > 0 thì a³ + b³ ³ ab(a + b)

BĐT này đúng vì tương đương với (a − b)²(a + b) ³ 0

Do đó, thực hiện tương tự với bộ (b³, c³); (c³, a³) ta có:

2(a³ + b³ + c³) ³ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)

Ta có: (a + b + c)(a² + b² + c²) = a³ + b³ + c³ + ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(a + b + c)(a² + b² + c²) £ a³ + b³ + c³ + 2(a³ + b³ + c³) = 3(a³ + b³ + c³)

Vì a + b + c = 1 nên điều trên tương đương với

a² + b² + c² £ 3(a³ + b³ + c³)

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c = \frac{1}{3}$

Vậy a² + b² + c² £ 3(a³ + b³ + c³) (đpcm).