Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a^2b + b^2c
Câu hỏi:
Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
a2b + b2c + c2a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\).
Trả lời:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
a2b + b2c + c2a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\)
⇔ 2(a2b + b2c + c2a) + \(\frac{1}{{a{b^2}}} + \frac{1}{{b{c^2}}} + \frac{1}{{c{a^2}}} \ge 9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 3 số dương ta có:
a2b + a2b + \[\frac{1}{{a{b^2}}} \ge 3\sqrt {{a^2}b.{a^2}b.\frac{1}{{a{b^2}}}} = 3a\]
Tương tự: b2c + b2c + \[\frac{1}{{b{c^2}}} \ge 3\sqrt {{b^2}c.{b^2}c.\frac{1}{{b{c^2}}}} = 3b\]
c2a + c2a + \[\frac{1}{{c{a^2}}} \ge 3\sqrt {{c^2}a.{c^2}a.\frac{1}{{c{a^2}}}} = 3c\]
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế, ta được:
2(a2b + b2c + c2a) + \(\frac{1}{{a{b^2}}} + \frac{1}{{b{c^2}}} + \frac{1}{{c{a^2}}} \ge 3\left( {a + b + c} \right) = 3.3 = 9\)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy a2b + b2c + c2a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\).
