Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là trung điểm của OB, MN là dây

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(–1; 2); B(3; 2); C(1; 5). Tính tọa độ trọng tâm của tam giác ABC?

Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(–1; 2); B(5; 8) điểm M thuộc Ox sao cho tam giác MAB vuông tại A. Tính diện tích tam giác MAB?

Cho các số x, y, z dương thoả mãn x² + y² + z² = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \(\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}\).

Tìm số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau, chữ số hàng trăm là chữ số 5. Số này phải chia hết cho 2 và chia hết cho 5.

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Dây CD di động vuông góc với AB tại H giữa A và O. Lấy điểm F thuộc cung AC nhỏ; BF cắt CD tại E, AF cắt tia DC tại I.

1. Chứng minh: tứ giác AHEF nội tiếp.

2. Chứng minh: HA.HB = HE.HI.

3. Đường tròn nội tiếp tam giác IEF cắt AE tại M. Chứng minh M thuộc đường tròn (O; R).

4. Tìm vị trí của H trên OA để tam giác OHD có chu vi lớn nhất.

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm D sao cho AD > BD, D khác A và B. Kẻ OH vuông góc với AD tại H, tia OH cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại C.

a) Chứng minh H là trung điểm của AD và OH.OC = R².

Giải phương trình: \[\sqrt {2{x^2} + 11x + 19} + \sqrt {2{x^2} + 5x + 7} = 3\left( {x + 2} \right)\].

Tìm điều kiện xác định của biểu thức \[\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\].