Cho hàm số y = f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 3(C). Tồn tại hai tiếp tuyến của

Câu hỏi:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 3 (C)$ . Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ só góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA = 2017.OB. Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Trả lời:

Đáp án D

Gọi $M_{1} (x_{1}; f (x_{1})); M_{2} (x_{2}; f (x_{2}))$ là hai tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến có cùng hệ số góc

Ta có: $y' = 3 x^{2} + 12 x + 9$

Khi đó:

$k = 3 x_{1}^{2} + 12 x_{1} + 9 = 3 x_{2}^{2} + 12 x_{2} + 9 \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) (x_{1} + x_{2} + 4) \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = - 4 = S (1)$

Hệ số góc của đường thẳng $M_{1} M_{2}$ là:

$k' = \pm \frac{O A}{O B} = \pm \frac{1}{2017} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \Leftrightarrow \pm \frac{1}{2017} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2} + 6 (x_{1} + x_{2}) + 9 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{1} x_{2} = \frac{2016}{2017} = P \\ x_{1} x_{2} = \frac{2018}{2017} = P \end{matrix} (2)$

Với $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 4 = S \\ x_{1} x_{2} = \frac{2016}{2017} = P \end{matrix}$ , do $S^{2} > 4 P$ nên $\exists$ hai cặp $x_{1}, x_{2} \Rightarrow \exists 1$ giá trị k

Với $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 4 = S \\ x_{1} x_{2} = \frac{2018}{2017} = P \end{matrix}$ , do $S^{2} > 4 P$ nên $\exists$ hai cặp $x_{1}, x_{2} \Rightarrow \exists 1$ giá trị k

Kết luận: có 2 giá trị k

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 2 m - 4$ đi qua điểm $N (- 2; 0)$

Xem lời giải »

Câu 2:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng $y = m (x - 4)$ cắt đồ thị của hàm số $y = (x^{2} - 1) (x^{2} - 9)$ tại bốn điểm phân biệt?

Xem lời giải »

Câu 3:

Hàm số $y = {(x + m)}^{3} + {(x + n)}^{3} - x^{3}$ (tham số m, n) đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4 (m^{2} + n^{2}) - m - n$ bằng:

Xem lời giải »

Câu 4:

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f(x)

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |f (x - 1) + m|$ có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:

Xem lời giải »

Câu 5:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $m^{2} (x^{4} - 1) + m (x^{2} - 1) - 6 (x - 1) \geq 0$ đúng với mọi $x \in R$ . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hàm số $f (x) = m x^{4} + n x^{3} + p x^{2} + q x + r (m, n, p, q, r \in R)$ . Hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình $f (x) = r$ có số phần tử là: