Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đạo hàm f'(x) thỏa mãn f'(x) = (1 - x)
Câu hỏi:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đạo hàm f′(x) thỏa mãn f′(x)=(1−x)(x+2)g(x)+2018 trong đó g(x) < 0, ∀x ∈ ℝ. Hàm số y = f(1 – x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào?
Trả lời:
Vì f′(x)=(1−x)(x+2)g(x)+2018
⇒ f′(1−x)=(1−(1−x))((1−x)+2)g(1−x)+2018
=x(3−x)g(1−x)+2018
Ta có: y = f(1 – x) + 2018x + 2019
⇒ y′=f′(1−x).(1−x)′+2018=−f′(1−x)+2018
=−[x(3−x)g(1−x)+2018]+2018=x(x−3)g(1−x)
Mà g(x) < 0, ∀x ∈ ℝ, suy ra, để hàm số nghịch biến thì x(x – 3) ≥ 0
⇔ [x≤0x≥3
Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0), (3; +∞).
